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1. (★)语句“$x$的$\frac{1}{8}$与$x$的和不超过$5$”可以表示为【 】
A.$\frac{x}{8}+x≤5$
B.$\frac{x}{8}+x≥5$
C.$\frac{8}{x + 5}≤5$
D.$\frac{x}{8}+x = 5$
A.$\frac{x}{8}+x≤5$
B.$\frac{x}{8}+x≥5$
C.$\frac{8}{x + 5}≤5$
D.$\frac{x}{8}+x = 5$
答案
A
解析
根据题意，“$x$的$\frac{1}{8}$”可以表示为$\frac{x}{8}$，“$x$的$\frac{1}{8}$与$x$的和”即为$\frac{x}{8} + x$，“不超过$5$”表示小于或等于$5$，用数学符号表示为$ \frac{x}{8} + x ≤ 5$。
2. (★)某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地$600m^2$，学校要求完成全部任务的时间不超过$3h$。开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了$60m^2$。若设他们在剩余时间内每小时平整土地$x m^2$，则根据题意可列不等式为【 】
A.$60+(3 - 0.5)x≥600$
B.$60+(3 - 0.5)x≤600$
C.$600 - 60x - 0.5≤3$
D.$0.5 + 600 - 60x≥3$
A.$60+(3 - 0.5)x≥600$
B.$60+(3 - 0.5)x≤600$
C.$600 - 60x - 0.5≤3$
D.$0.5 + 600 - 60x≥3$
答案
A
解析
任务总量为$600m^2$，已平整$60m^2$，剩余面积为$600 - 60 = 540m^2$。
总时间不超过$3$小时，已用$0.5$小时，剩余时间为$3 - 0.5 = 2.5$小时。
设剩余时间内每小时平整$x m^2$，则需满足：
$60 + 2.5x ≥ 600$$ 即： $60 + (3 - 0.5)x ≥ 600$$
总时间不超过$3$小时，已用$0.5$小时，剩余时间为$3 - 0.5 = 2.5$小时。
设剩余时间内每小时平整$x m^2$，则需满足：
$60 + 2.5x ≥ 600$$ 即： $60 + (3 - 0.5)x ≥ 600$$
3. (★)小明用$30$元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是$2$元和$5$元，他买了$2$支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买$x$支签字笔，则下列不等关系正确的是【 】
A.$5×2 + 2x≥30$
B.$5×2 + 2x≤30$
C.$2×2 + 2x≥30$
D.$2×2 + 5x≤30$
A.$5×2 + 2x≥30$
B.$5×2 + 2x≤30$
C.$2×2 + 2x≥30$
D.$2×2 + 5x≤30$
答案
D
解析
设小明还能买$x$支签字笔，
铅笔的单价是$2$元，他买了$2$支铅笔，所以铅笔总共花费了$2 × 2 = 4(元)$；
签字笔的单价是$5$元，他计划买$x$支签字笔，所以签字笔总共花费$5x$元；
他总共花费的金额不超过$30$元，所以列出不等式：
$2 × 2 + 5x ≤ 30$。
这与选项D相匹配。
铅笔的单价是$2$元，他买了$2$支铅笔，所以铅笔总共花费了$2 × 2 = 4(元)$；
签字笔的单价是$5$元，他计划买$x$支签字笔，所以签字笔总共花费$5x$元；
他总共花费的金额不超过$30$元，所以列出不等式：
$2 × 2 + 5x ≤ 30$。
这与选项D相匹配。
4. (★)某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶$6$个。市场上有$A$型和$B$型两种分类垃圾桶，$A$型分类垃圾桶$500$元/个，$B$型分类垃圾桶$550$元/个。若总费用不超过$3100$元，则不同的购买方式有【 】
A.$2$种
B.$3$种
C.$4$种
D.$5$种
A.$2$种
B.$3$种
C.$4$种
D.$5$种
答案
B
解析
设购买A型分类垃圾桶$x$个，则购买B型分类垃圾桶$(6 - x)$个。
根据题意得：$500x + 550(6 - x) ≤ 3100$，
去括号得：$500x+ 3300 - 550x ≤ 3100$，
移项得：$500x - 550x ≤ 3100 - 3300$，
合并同类项得：$- 50x ≤ - 200$，
系数化为$1$得：$x ≥ 4$。
因为$0≤ x≤6$，且$x$为整数，所以$x$的值为$4$，$5$，$6$，共$3$种购买方式。
根据题意得：$500x + 550(6 - x) ≤ 3100$，
去括号得：$500x+ 3300 - 550x ≤ 3100$，
移项得：$500x - 550x ≤ 3100 - 3300$，
合并同类项得：$- 50x ≤ - 200$，
系数化为$1$得：$x ≥ 4$。
因为$0≤ x≤6$，且$x$为整数，所以$x$的值为$4$，$5$，$6$，共$3$种购买方式。
5. (★)某市出租车的收费标准是：起步价$8$元(即行驶距离不超过$3km$都需付$8$元车费)，超过$3km$以后，每增加$1km$，加收$1.5$元(不足$1km$按$1km$计)。某人从甲地到乙地经过的路程是$x km$，出租车费为$15.5$元，那么$x$的最大值是【 】
A.$11$
B.$8$
C.$7$
D.$5$
A.$11$
B.$8$
C.$7$
D.$5$
答案
B
解析
根据题意设路程为$x km$，当$x＞3$时，车费为$8 + 1.5(x - 3)$（因为超过$3km$后每$1km$加收$1.5$元，不足$1km$按$1km$计），已知车费$15.5$元，则可列不等式$8 + 1.5(x - 3)≤15.5$（因为按收费规则计算出的费用不超过实际车费$15.5$元时$x$取到最大可能值），先化简不等式左边$8+1.5x - 4.5=1.5x + 3.5$，则$1.5x+3.5≤15.5$，移项可得$1.5x≤15.5 - 3.5$，即$1.5x≤12$，两边同时除以$1.5$，解得$x≤8$，所以$x$的最大值是$8$。
6. (★★)某单位准备购买文化用品。现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为$10$元/件。甲超市：一次性购买金额不超过$400$元的不优惠，超过$400$元的部分按标价的$6$折售卖；乙超市：全部按标价的$8$折售卖。
(1)若该单位需要购买$30$件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为元；乙超市的购物金额为元。
(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
(1)若该单位需要购买$30$件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为元；乙超市的购物金额为元。
(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
答案
（1）
甲超市：$30×10 = 300$（元），$300＜400$，所以购物金额为$300$元；
乙超市：$30×10×0.8 = 240$（元）。
故答案为：$300$；$240$。
（2）
设购买$x$件这种文化用品。
当$0＜10x≤400$，即$0＜ x≤40$时：
甲超市：$10x$元；
乙超市：$10x×0.8 = 8x$元。
令$10x = 8x$，解得$x = 0$（舍去）；
令$10x＞8x$，解得$x＞0$，此时乙超市费用少；
令$10x＜8x$，无解。
当$10x＞400$，即$x＞40$时：
甲超市：$400 + 0.6×10(x - 40)=400 + 6x - 240 = 6x + 160$；
乙超市：$8x$元。
令$6x + 160 = 8x$，
$160 = 2x$，
解得$x = 80$；
令$6x + 160＞8x$，
$160＞2x$，
解得$x＜80$，此时乙超市费用少；
令$6x + 160＜8x$，
$160＜2x$，
解得$x＞80$，此时甲超市费用少。
综上，当购买数量为$80$件时，甲、乙两超市费用相同；当购买数量在$0＜ x＜80$时，选择乙超市费用少；当购买数量$x＞80$时，选择甲超市费用少。
甲超市：$30×10 = 300$（元），$300＜400$，所以购物金额为$300$元；
乙超市：$30×10×0.8 = 240$（元）。
故答案为：$300$；$240$。
（2）
设购买$x$件这种文化用品。
当$0＜10x≤400$，即$0＜ x≤40$时：
甲超市：$10x$元；
乙超市：$10x×0.8 = 8x$元。
令$10x = 8x$，解得$x = 0$（舍去）；
令$10x＞8x$，解得$x＞0$，此时乙超市费用少；
令$10x＜8x$，无解。
当$10x＞400$，即$x＞40$时：
甲超市：$400 + 0.6×10(x - 40)=400 + 6x - 240 = 6x + 160$；
乙超市：$8x$元。
令$6x + 160 = 8x$，
$160 = 2x$，
解得$x = 80$；
令$6x + 160＞8x$，
$160＞2x$，
解得$x＜80$，此时乙超市费用少；
令$6x + 160＜8x$，
$160＜2x$，
解得$x＞80$，此时甲超市费用少。
综上，当购买数量为$80$件时，甲、乙两超市费用相同；当购买数量在$0＜ x＜80$时，选择乙超市费用少；当购买数量$x＞80$时，选择甲超市费用少。
