1. 如图，在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点 $ A $ 出发，沿着“$ A - B - C - D - A ··· $”循环爬行，其中点 $ A $ 的坐标为 $ (1, -1) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (-1, -1) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (-1, 3) $，点 $ D $ 的坐标为 $ (1, 3) $。当蚂蚁爬了 $ 2024 $ 个单位长度时，蚂蚁所处位置的点的坐标为()。


A.$ (1, 0) $
B.$ (1, 3) $
C.$ (-1, -1) $
D.$ (-1, 2) $

B

首先计算蚂蚁爬行一圈的长度：A(1,-1)到B(-1,-1)：|1 - (-1)|=2；B(-1,-1)到C(-1,3)：|3 - (-1)|=4；C(-1,3)到D(1,3)：|1 - (-1)|=2；D(1,3)到A(1,-1)：|-1 - 3|=4。一圈总长=2+4+2+4=12。2024÷12=168……8，即168圈后余8个单位。从A出发：A→B(2单位)，余6；B→C(4单位)，余2；C→D(2单位)，余0。此时到达D点(1,3)。

2. 在平面直角坐标系中，对于点 $ M(x, y) $，我们把 $ N(-y + 1, x + 1) $ 叫作点 $ M $ 的友谊点。已知点 $ A_1 $ 的友谊点为 $ A_2 $，点 $ A_2 $ 的友谊点为 $ A_3 $，点 $ A_3 $ 的友谊点为 $ A_4 ··· ··· $ 这样依次下去，得到点 $ A_1, A_2, A_3, A_4, ···, A_n $。若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (-3, 1) $，则点 $ A_{2026} $ 的坐标为。

(0,-2)

已知点$M(x,y)$的友谊点为$N(-y+1,x+1)$，$A_1(-3,1)$。
$A_2$：$x=-3,y=1$，则$A_2(-1+1,-3+1)=(0,-2)$；
$A_3$：$x=0,y=-2$，则$A_3(-(-2)+1,0+1)=(3,1)$；
$A_4$：$x=3,y=1$，则$A_4(-1+1,3+1)=(0,4)$；
$A_5$：$x=0,y=4$，则$A_5(-4+1,0+1)=(-3,1)=A_1$，周期为$4$。
$2026÷4=506······2$，故$A_{2026}=A_2=(0,-2)$。

3. 如图，动点 $ P $ 在平面直角坐标系中按图中箭头所指方向运动，第 $ 1 $ 次从原点 $ (0, 0) $ 运动到点 $ (-1, 1) $，第 $ 2 $ 次继续运动到点 $ (-2, 0) $，第 $ 3 $ 次继续运动到点 $ (-3, 2) ··· ··· $ 按这样的运动规律，经过第 $ 43 $ 次运动后，动点 $ P $ 的坐标为()。


A.$ (-42, 0) $
B.$ (-43, 1) $
C.$ (-43, 2) $
D.$ (-45, 2) $

C

观察动点运动规律，第n次运动后，横坐标为-n。纵坐标规律：n除以4的余数为1时y=1，余数为2时y=0，余数为3时y=2，余数为0时y=0。第43次运动，n=43，43÷4=10余3，故y=2，坐标为(-43,2)。

4. 如图，在平面直角坐标系中，一动点自 $ P_0(1, 0) $ 处向上运动 $ 1 $ 个单位长度至点 $ P_1(1, 1) $ 处，然后向左运动 $ 2 $ 个单位长度至点 $ P_2(-1, 1) $ 处，再向下运动 $ 3 $ 个单位长度至点 $ P_3(-1, -2) $ 处，再向右运动 $ 4 $ 个单位长度至点 $ P_4(3, -2) $ 处 $ ··· ··· $ 按如此规律继续运动下去，当这点运动至 $ P_{2024} $ 处时，点 $ P_{2024} $ 的坐标是()。


A.$ (-1011, 1011) $
B.$ (1011, -1012) $
C.$ (1013, -1012) $
D.$ (1013, 1013) $

C

观察点的运动规律，方向依次为上、左、下、右循环，运动距离依次为1,2,3,4,...。分析n=4k（k为非负整数）时的点坐标：
n=0（k=0）：P₀(1,0)
n=4（k=1）：P₄(3,-2)
n=8（k=2）：P₈(5,-4)
规律：x=1+2k，y=-2k。
当n=2024时，k=2024÷4=506，
x=1+2×506=1013，y=-2×506=-1012，
故P₂₀₂₄坐标为(1013,-1012)。

5. 在平面直角坐标系中，某机器人从原点 $ O $ 出发，按向右、向上、向右、向下的方向每次移动 $ 1 $ 个单位长度，行走路线如图所示。第 $ 1 $ 次移动到点 $ A_1(1, 0) $，第 $ 2 $ 次移动到点 $ A_2(1, 1) $，第 $ 3 $ 次移动到点 $ A_3(2, 1) $，第 $ 4 $ 次移动到点 $ A_4(2, 0) ··· ··· $ 第 $ 2026 $ 次移动至点 $ A_{2026} $，则点 $ A_{2026} $ 的坐标是。

(1013, 1)

观察机器人移动规律，每4次移动为一个循环：第1次向右，第2次向上，第3次向右，第4次向下。
第4n次移动后坐标为(2n, 0)；
第4n-1次移动后坐标为(2n, 1)；
第4n-2次移动后坐标为(2n-1, 1)；
第4n-3次移动后坐标为(2n-1, 0)。
2026÷4=506……2，即2026=4×507-2，属于第4n-2次移动（n=507）。
此时坐标为(2×507-1, 1)=(1013, 1)。