21. 提升题 已知直线$AB// CD$,$EF$是截线,点$M$在直线$AB,CD$之间。


(1)如图①,连接$GM,HM$。请说明:$∠ M=∠ AGM+∠ CHM$。
(2)如图②,在$∠ GHC$的平分线上取两点$M,Q$,使得$∠ AGM=∠ HGQ$。请直接写出$∠ M$与$∠ HQG$之间的数量关系。
(3)如图③,$GH$平分$∠ BGM$,点$N$在$MH$的延长线上,连接$GN$。若$∠ AGM=∠ N$,$∠ M=∠ N+\frac{1}{2}∠ FGN$,求$∠ MHG$的度数。

(1) 解：如图①，过点$M$作$MR//AB$。
因为$AB//CD$，
所以$CD//MR//AB$，
所以$∠GMR = ∠AGM$，$∠HMR = ∠CHM$，
所以$∠GMH = ∠GMR + ∠RMH = ∠AGM + ∠CHM$。
(2) $∠M + ∠HQG = 180°$。理由如下：
因为$HM$是$∠CHG$的平分线，
所以$∠CHM = ∠MHG$。
因为$∠HGQ + ∠HQG + ∠GHQ = 180°$，
$∠HQG + ∠MQG = 180°$，
所以$∠MQG = ∠HGQ + ∠GHQ$。
又因为$∠AGM = ∠HGQ$，
由(1)可知$∠M = ∠AGM + ∠CHM$，
所以$∠M = ∠MQG$。
因为$∠MQG + ∠HQG = 180°$，
所以$∠M + ∠HQG = 180°$。
(3) 解：如图③，令$∠AGM = 2α$，$∠CHM = β$，
则$∠N = 2α$，$∠M = 2α + β$。
因为$GH$是$∠BGM$的平分线，
所以$∠FGM = \frac{1}{2}∠BGM = \frac{1}{2}(180° - ∠AGM) = 90° - α$，
所以$∠AGH = ∠AGM + ∠FGM = 2α + 90° - α = 90° + α$。
因为$∠M = ∠N + \frac{1}{2}∠FGN$，
所以$2α + β = 2α + \frac{1}{2}∠FGN$，
所以$∠FGN = 2β$。
过点$H$作$HT//GN$，
则$∠MHT = ∠N = 2α$，$∠GHT = ∠FGN = 2β$，
所以$∠GHM = ∠MHT + ∠GHT = 2α + 2β$，
所以$∠CHG = ∠CHM + ∠GHM = β + 2α + 2β = 2α + 3β$。
因为$AB//CD$，
所以$∠AGH + ∠CHG = 180°$，
所以$90° + α + 2α + 3β = 180°$，
所以$α + β = 30°$，
所以$∠GHM = 2(α + β) = 60°$。