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3. 若$\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则锐角$\alpha =$；若$\tan (\beta - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$，则锐角$\beta =$。
答案
45°
60°
60°
4. 在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，若$AC = 100$，$\sin A = \frac{3}{5}$，则$AB =$。
答案
80
5. 如图，已知等边三角形$ABC$内接于$\odot O$，$D$是劣弧$BC$上一点，则$\sin \angle ADB =$。
答案
$\frac {\sqrt{3}}{2}$
6. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle A = \angle ABC = 90^{\circ}$，$DB$平分$\angle ADC$。若$AD = 1$，$CD = 3$，则$\sin \angle ABD =$。
答案
$\frac {\sqrt{6}}{6}$
7. 求下列各式的值：
（1）$\sin^{2} 30^{\circ} + \sin^{2} 60^{\circ} - \sqrt{2} \cos 45^{\circ}$；
（2）$\tan 30^{\circ} + \tan 45^{\circ} - 2 \sin 30^{\circ} + \tan 60^{\circ}$；
（3）$\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ} + 1} - \frac{\cos 45^{\circ}}{1 - \sin 60^{\circ}}$；
（4）$2 \cos 60^{\circ} + 3^{-1} + (\sqrt{2} - 1)^{0} - \sqrt{4}$。
（1）$\sin^{2} 30^{\circ} + \sin^{2} 60^{\circ} - \sqrt{2} \cos 45^{\circ}$；
（2）$\tan 30^{\circ} + \tan 45^{\circ} - 2 \sin 30^{\circ} + \tan 60^{\circ}$；
（3）$\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ} + 1} - \frac{\cos 45^{\circ}}{1 - \sin 60^{\circ}}$；
（4）$2 \cos 60^{\circ} + 3^{-1} + (\sqrt{2} - 1)^{0} - \sqrt{4}$。
答案
$\frac {\sqrt{6}}{6}$
解：原式$=(\frac {1}{2})²+(\frac {\sqrt{3}}{2})²-\sqrt{2}×\frac {\sqrt{2}}{2}$
=1-1
=0
解：原式$=\frac {\sqrt{3}}{3}+1-2×\frac {1}{2}+\sqrt{3}$
$ =\frac {\sqrt{3}}{3}+1-1+\sqrt{3}$
$ =\frac {4\sqrt{3}}{3}$
解：原式$=(\frac {1}{2})²+(\frac {\sqrt{3}}{2})²-\sqrt{2}×\frac {\sqrt{2}}{2}$
=1-1
=0
解：原式$=\frac {\sqrt{3}}{3}+1-2×\frac {1}{2}+\sqrt{3}$
$ =\frac {\sqrt{3}}{3}+1-1+\sqrt{3}$
$ =\frac {4\sqrt{3}}{3}$
8. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，请根据下列条件解直角三角形。
（1）$\angle A = 30^{\circ}$，$a = 4\sqrt{3}$；
（2）$a = 6\sqrt{2}$，$c = 12$。
（1）$\angle A = 30^{\circ}$，$a = 4\sqrt{3}$；
（2）$a = 6\sqrt{2}$，$c = 12$。
答案
解：原式$=\frac {\frac {\sqrt{2}}{2}}{\frac {\sqrt{3}}{2}+1}-\frac {\frac {\sqrt{2}}{2}}{1-\frac {\sqrt{3}}{2}}$
$=\frac {\frac {\sqrt{2}×(1-\frac {\sqrt{3}}{2})}{2}}{\frac {1}{4}}-\frac {\frac {\sqrt{2}}{2}×(1-\frac {\sqrt{3}}{2})}{\frac {1}{4}}$
$=2\sqrt{2}×[(1-\frac {\sqrt{3}}{2})-(1+\frac {\sqrt{3}}{2})]$
$=2\sqrt{2}×(-\sqrt{3})$
$=-2\sqrt{6}$
解：原式$=2×\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+1-2$
$ =1+\frac {1}{3}-1$
$ =\frac {1}{3}$
解： (1)在Rt△ABC中
因为∠A=30°，∠C=90°，∠B=60°
因为$a=4\sqrt{3}$
所以$b=\frac {a}{tan{30}°}=12，$$c=\frac {a}{sin{30}°}=8\sqrt{3}$
(2)在Rt△ABC中
因为$a= 6\sqrt{2}，$c=12，∠C = 90°
所以$b=\sqrt{c²-a²}= 6\sqrt{2}$
所以$sinA=\frac {a}{c}=\frac {\sqrt{2}}{2}，$$sinB=\frac {b}{c}=\frac {\sqrt{2}}{2}$
所以∠A=45°，∠B=45°
$=\frac {\frac {\sqrt{2}×(1-\frac {\sqrt{3}}{2})}{2}}{\frac {1}{4}}-\frac {\frac {\sqrt{2}}{2}×(1-\frac {\sqrt{3}}{2})}{\frac {1}{4}}$
$=2\sqrt{2}×[(1-\frac {\sqrt{3}}{2})-(1+\frac {\sqrt{3}}{2})]$
$=2\sqrt{2}×(-\sqrt{3})$
$=-2\sqrt{6}$
解：原式$=2×\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+1-2$
$ =1+\frac {1}{3}-1$
$ =\frac {1}{3}$
解： (1)在Rt△ABC中
因为∠A=30°，∠C=90°，∠B=60°
因为$a=4\sqrt{3}$
所以$b=\frac {a}{tan{30}°}=12，$$c=\frac {a}{sin{30}°}=8\sqrt{3}$
(2)在Rt△ABC中
因为$a= 6\sqrt{2}，$c=12，∠C = 90°
所以$b=\sqrt{c²-a²}= 6\sqrt{2}$
所以$sinA=\frac {a}{c}=\frac {\sqrt{2}}{2}，$$sinB=\frac {b}{c}=\frac {\sqrt{2}}{2}$
所以∠A=45°，∠B=45°
9. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 30^{\circ}$，点$D$在$AC$上，$DB ⊥ BC$，垂足为$B$，$AD:DC = 1:2$。求$\tan \angle ABD$。
答案
解:过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E ，如图所示
因为DB⊥BC， AE⊥DB
所以AE//BC，∠AED=∠DBC= 90°
所以∠EAD=∠C=30°，
所以△ADE∽△CDB
因为$\frac {AD}{DC}=\frac {1}{2}$
所以$\frac {AE}{BC}=\frac {DE}{DB}=\frac {1}{2}$
设DE=x ，则DB=2x， BE=3x
在Rt△ADE中
因为∠EAD=30°， DE=x
所以$AE=\sqrt{3}x$
所以$tan∠ABD=\frac {AE}{BE}=\frac {\sqrt{3}x}{3x}=\frac {\sqrt{3}}{3}$
