9. 如图,$DE是\triangle ABC$的中位线,延长$DE至点F$,使$EF= DE$,连结$CF$. 求证：$\triangle CFE\backsim\triangle ABC$.
]

证明:
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE//BC,$DE=\frac{1}{2}BC$,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB.在△ADE和△ABC中,∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,∠A=∠A,$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴△ADE∽△ABC.又易证明△ADE≌△CFE,
∴∠CFE=∠ADE=∠B,∠CEF=∠AED=∠ACB,∠ECF=∠A,且CF=AD,CE=AE,EF=DE,即$\frac{EF}{BC}=\frac{CF}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴△CFE∽△ABC.

10. 如图,已知$\triangle ABO\backsim\triangle CDO$,$BO:DO= 3:4$,若$CD$的长度为12,则$AB$的长度为( )


A.9
B.12
C.16
D.20

A

证明：
∵$\triangle ABO\backsim\triangle CDO$，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BO}{DO}$。
∵$BO:DO=3:4$，$CD=12$，
∴$\frac{AB}{12}=\frac{3}{4}$，
∴$AB=9$。
结论：A

11. 如图,在正方形网格中,$\triangle ABC$,$\triangle EDF$的顶点都在正方形网格的格点上,$\triangle ABC\backsim\triangle EDF$,则$\angle ABC+\angle ACB$的度数为______.
]

45°

在$\triangle ABC$中，$\angle ABC + \angle ACB = 180° - \angle BAC$。
由$\triangle ABC \backsim \triangle EDF$，得$\angle BAC = \angle DEF$。
设网格中每个小正方形边长为$1$，则$DE=1$，$EF=\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{5}$。
在$\triangle EDF$中，$DE^2 + EF^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 3$，$DF^2 = 5$，$DE^2 + EF^2 \neq DF^2$，但通过格点坐标计算$\angle DEF$：
$E(0,2)$，$D(1,1)$，$F(0,3)$，向量$\overrightarrow{ED}=(1,-1)$，$\overrightarrow{EF}=(0,1)$，
$\cos\angle DEF = \frac{\overrightarrow{ED} \cdot \overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{ED}||\overrightarrow{EF}|} = \frac{1 × 0 + (-1) × 1}{\sqrt{2} × 1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\angle DEF = 135°$。
则$\angle BAC = 135°$，所以$\angle ABC + \angle ACB = 180° - 135° = 45°$。
$45°$

12. 在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在AC$,$AB$上,$AB= 12$,$AC= 8$,$AD= 6$,如果$\triangle ADE与\triangle ABC$相似,则$AE= $______.

4或9

$\because \triangle ADE$与$\triangle ABC$相似，$\angle DAE = \angle BAC$
$\therefore$分两种情况：
情况1：$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$
$\therefore \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$
$\because AB = 12$，$AC = 8$，$AD = 6$
$\therefore \dfrac{6}{12} = \dfrac{AE}{8}$
$\therefore AE = 4$
情况2：$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$
$\therefore \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$
$\because AB = 12$，$AC = 8$，$AD = 6$
$\therefore \dfrac{6}{8} = \dfrac{AE}{12}$
$\therefore AE = 9$
综上，$AE = 4$或$9$

13. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$,$F分别在边AD$,$DC$上,$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$,$AB= 6$,$AE= 9$,$DE= 2$.
(1)求$EF$的长.
(2)求证：$\angle BEF= 90°$.
]

解:
(1)在Rt△ABE中,$BE=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$.
∵△ABE∽△DEF,
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DE}{AB}$,即$\frac{EF}{3\sqrt{13}}=\frac{2}{6}$,
∴$EF=\sqrt{13}$.
(2)证明:
∵△ABE∽△DEF,
∴∠AEB=∠DFE.
∵∠D=90°,
∴∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠DEF+∠AEB=90°,
∴∠BEF=90°.