【例1】已知函数$y= -x^{2}+bx+c$,其中$b＞0,c＜0$,此函数的图象可以是( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
D
解析
解：函数$y=-x^{2}+bx+c$，
$\because a=-1＜0$，抛物线开口向下，排除A；
$\because c＜0$，抛物线与$y$轴交点在$y$轴负半轴，排除B、D；
$\because b＞0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{b}{2}＞0$，对称轴在$y$轴右侧，C符合.
结论：C
$\because a=-1＜0$，抛物线开口向下，排除A；
$\because c＜0$，抛物线与$y$轴交点在$y$轴负半轴，排除B、D；
$\because b＞0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{b}{2}＞0$，对称轴在$y$轴右侧，C符合.
结论：C
【变式1】在平面直角坐标系中,二次函数$y= a(x-h)^{2}+k(a＜0)$的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
B
解析
解：二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的顶点坐标为$(h,k)$，$a ＜ 0$时抛物线开口向下。选项B的抛物线开口向下，符合条件。
答案：B
答案：B
【变式2】二次函数$y= a(x-4)^{2}-4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x$轴的下方,在$6＜x＜7这一段位于x$轴的上方,则$a$的值为( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案
A
解析
二次函数$y = a(x - 4)^2 - 4$的对称轴为直线$x = 4$。
因为抛物线在$2 ＜ x ＜ 3$位于$x$轴下方，在$6 ＜ x ＜ 7$位于$x$轴上方，由抛物线的对称性可知，$x = 2$与$x = 6$关于对称轴对称，$x = 3$与$x = 7$关于对称轴对称，所以抛物线经过点$(2, 0)$和$(6, 0)$。
将$(2, 0)$代入$y = a(x - 4)^2 - 4$，得：
$0 = a(2 - 4)^2 - 4$
$0 = a(-2)^2 - 4$
$0 = 4a - 4$
$4a = 4$
$a = 1$
A
因为抛物线在$2 ＜ x ＜ 3$位于$x$轴下方，在$6 ＜ x ＜ 7$位于$x$轴上方，由抛物线的对称性可知，$x = 2$与$x = 6$关于对称轴对称，$x = 3$与$x = 7$关于对称轴对称，所以抛物线经过点$(2, 0)$和$(6, 0)$。
将$(2, 0)$代入$y = a(x - 4)^2 - 4$，得：
$0 = a(2 - 4)^2 - 4$
$0 = a(-2)^2 - 4$
$0 = 4a - 4$
$4a = 4$
$a = 1$
A
【例2】在同一平面直角坐标系中,一次函数$y= -kx+1与二次函数y= x^{2}+k$的图象可以是( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
解：
1. 二次函数$y=x^{2}+k$，开口向上，顶点坐标$(0,k)$。
2. 一次函数$y=-kx+1$，与$y$轴交于点$(0,1)$。
3. 选项分析：
A：抛物线顶点在$y$轴负半轴，$k＜0$；直线过一、二、三象限，$-k＞0$即$k＜0$，一致。
B：抛物线开口向下，不符$y=x^{2}+k$，排除。
C：抛物线顶点在$y$轴负半轴，$k＜0$；直线过二、三、四象限，$-k＜0$即$k＞0$，矛盾，排除。
D：直线与$y$轴交点非$(0,1)$，排除。
结论：A
1. 二次函数$y=x^{2}+k$，开口向上，顶点坐标$(0,k)$。
2. 一次函数$y=-kx+1$，与$y$轴交于点$(0,1)$。
3. 选项分析：
A：抛物线顶点在$y$轴负半轴，$k＜0$；直线过一、二、三象限，$-k＞0$即$k＜0$，一致。
B：抛物线开口向下，不符$y=x^{2}+k$，排除。
C：抛物线顶点在$y$轴负半轴，$k＜0$；直线过二、三、四象限，$-k＜0$即$k＞0$，矛盾，排除。
D：直线与$y$轴交点非$(0,1)$，排除。
结论：A
【变式】函数$y= (x-1)^{2}+k与y= \frac{k}{x}$($k$是不为0的常数)在同一坐标系中的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
B
解析
解：
1. 当$k＞0$时：
抛物线$y=(x-1)^2 + k$开口向上，顶点$(1,k)$在第一象限；
双曲线$y=\frac{k}{x}$分布在第一、三象限。无选项符合。
2. 当$k＜0$时：
抛物线$y=(x-1)^2 + k$开口向上，顶点$(1,k)$在第四象限；
双曲线$y=\frac{k}{x}$分布在第二、四象限。选项B符合。
B
1. 当$k＞0$时：
抛物线$y=(x-1)^2 + k$开口向上，顶点$(1,k)$在第一象限；
双曲线$y=\frac{k}{x}$分布在第一、三象限。无选项符合。
2. 当$k＜0$时：
抛物线$y=(x-1)^2 + k$开口向上，顶点$(1,k)$在第四象限；
双曲线$y=\frac{k}{x}$分布在第二、四象限。选项B符合。
B
【例3】已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象如下图所示,对称轴是直线$x= -\frac{1}{3}$,下列结论：①$ab＜0$.②$a-b+c＜0$.③$3b= 2a$.④$a+4c＞2b$,其中正确结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
解：①
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$，
∵对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{3}$，
∴$b=\frac{2}{3}a$，
∵$a＜0$，
∴$b＜0$，则$ab＞0$，①错误；
②当$x=-1$时，$y=a-b+c$，由图知$x=-1$时$y＞0$，
∴$a-b+c＞0$，②错误；
③由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{3}$，得$-3b=-2a$，即$3b=2a$，③正确；
④
∵$b=\frac{2}{3}a$，抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$，
$a+4c-2b=a+4c-2×\frac{2}{3}a=-\frac{1}{3}a+4c$，
∵$a＜0$，
∴$-\frac{1}{3}a＞0$，$4c＞0$，则$a+4c-2b＞0$，即$a+4c＞2b$，④正确；
正确结论为③④，共2个。
答案：B
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$，
∵对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{3}$，
∴$b=\frac{2}{3}a$，
∵$a＜0$，
∴$b＜0$，则$ab＞0$，①错误；
②当$x=-1$时，$y=a-b+c$，由图知$x=-1$时$y＞0$，
∴$a-b+c＞0$，②错误；
③由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{3}$，得$-3b=-2a$，即$3b=2a$，③正确；
④
∵$b=\frac{2}{3}a$，抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$，
$a+4c-2b=a+4c-2×\frac{2}{3}a=-\frac{1}{3}a+4c$，
∵$a＜0$，
∴$-\frac{1}{3}a＞0$，$4c＞0$，则$a+4c-2b＞0$，即$a+4c＞2b$，④正确；
正确结论为③④，共2个。
答案：B
【变式】在平面直角坐标系中,二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象如下图所示,现给出以下结论：①$abc＜0$.②$c+2a＜0$.③$9a-3b+c= 0$.④$4ac-b^{2}＜0$.其中正确结论的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
解：①由抛物线开口向上得$a＞0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$得$b=2a＞0$，与$y$轴交于负半轴得$c＜0$，则$abc＜0$，①正确；
②由抛物线过点$(1,0)$得$a+b+c=0$，又$b=2a$，则$c=-3a$，$c+2a=-3a+2a=-a＜0$，②正确；
③抛物线对称轴为$x=-1$，与$x$轴交于$(1,0)$，则另一交点为$(-3,0)$，代入得$9a-3b+c=0$，③正确；
④抛物线与$x$轴有两个交点，$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$4ac-b^2＜0$，④正确。
综上，正确结论个数为4，选D。
②由抛物线过点$(1,0)$得$a+b+c=0$，又$b=2a$，则$c=-3a$，$c+2a=-3a+2a=-a＜0$，②正确；
③抛物线对称轴为$x=-1$，与$x$轴交于$(1,0)$，则另一交点为$(-3,0)$，代入得$9a-3b+c=0$，③正确；
④抛物线与$x$轴有两个交点，$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$4ac-b^2＜0$，④正确。
综上，正确结论个数为4，选D。
