1. 如图,小亮坐在秋千上,秋千的绳长 OA 为 2 m,秋千绕点 O 旋转了 60°,点 A 旋转到点 A',则$\widehat{AA'}$的长为( )

A.$\frac{1}{3}\pi$ m
B.$\frac{2}{3}\pi$ m
C.$\pi$ m
D.$2\pi$ m

B

解：已知秋千绳长$OA = 2\ m$，即$\widehat{AA'}$所在圆的半径$r = 2\ m$，旋转角度$n = 60°$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，可得：
$\widehat{AA'}$的长为$\frac{60\pi×2}{180}=\frac{120\pi}{180}=\frac{2}{3}\pi\ m$。
答案：B

2. 点 A,B,C 在$\odot O$上的位置如下左图所示,若$\angle A= 70°$,$\odot O$的半径为 3,则$\widehat{BC}$的长是( )

A.$\frac{7}{6}\pi$
B.$\frac{7}{3}\pi$
C.$\frac{7}{2}\pi$
D.$7\pi$

B

证明：
∵点A,B,C在$\odot O$上，$\angle A=70°$，
∴$\angle A$是$\widehat{BC}$所对的圆周角，
∴$\widehat{BC}$所对的圆心角$\angle BOC=2\angle A=2×70°=140°$。
∵$\odot O$的半径$r=3$，
∴$\widehat{BC}$的长为$\frac{n\pi r}{180°}=\frac{140°×\pi×3}{180°}=\frac{7}{3}\pi$。
答案：B

3. 在半径为 12 cm 的圆中,长为$4\pi$ cm 的弧的度数为( )

A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$

B

设弧的度数为$n^{\circ}$。
圆的周长为$2\pi r = 2\pi×12 = 24\pi$ cm。
弧长公式为$\frac{n\pi r}{180}$，已知弧长为$4\pi$ cm，可得：
$\frac{n\pi×12}{180} = 4\pi$
化简得：$\frac{n}{15} = 4$
解得$n = 60$
B

4. 如图,AB 为$\odot O$的直径,点 C 在$\odot O$上,若$\angle OCA= 55°$,$AB= 6$,则$\widehat{BC}$的长为( )

A.$\frac{11}{3}\pi$
B.$\frac{11}{6}\pi$
C.$\frac{11}{4}\pi$
D.$11\pi$

B

解：
∵AB为$\odot O$的直径，$AB=6$，
∴半径$OA=OC=\frac{AB}{2}=3$，且$\angle ACB=90°$（直径所对圆周角为直角）。
∵$OA=OC$，
∴$\triangle OAC$为等腰三角形，$\angle OAC=\angle OCA=55°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B=180°-\angle ACB-\angle OAC=180°-90°-55°=35°$。
∵$\angle B$是$\widehat{AC}$所对的圆周角，$\angle AOC$是$\widehat{AC}$所对的圆心角，
∴$\angle AOC=2\angle B=70°$。
∵$\angle AOC+\angle BOC=180°$（平角定义），
∴$\angle BOC=180°-70°=110°=\frac{11\pi}{18}$（弧度）。
$\widehat{BC}$的长为$l=\alpha r=\frac{11\pi}{18}×3=\frac{11\pi}{6}$。
答案：B

5. 一个滑轮起重装置如下图所示,滑轮的半径是 10 cm,OA 是滑轮的一条半径,当 OA 绕轴心 O 逆时针方向旋转$180°$时,重物上升的高度为( )

A.10 cm
B.$10\pi$ cm
C.5 cm
D.$5\pi$ cm

B

解：滑轮半径 $ r = 10 \, cm $，当 $ OA $ 旋转 $ 180° $（即 $ \pi \, rad $）时，滑轮边缘点移动的弧长为：
$ l = r\theta = 10 × \pi = 10\pi \, cm $。
此弧长等于重物上升的高度。
答案：B

6. 已知一条弧的度数为$135°$,弧长等于半径为 5 cm 的圆的周长的 3 倍,则这条弧所在圆的半径为______cm.

40

设这条弧所在圆的半径为$R$ cm。
半径为5 cm的圆的周长为$2\pi×5 = 10\pi$ cm，其3倍为$3×10\pi = 30\pi$ cm。
弧长公式为$l=\frac{n\pi R}{180}$（其中$n$为弧的度数），已知弧的度数$n = 135°$，弧长$l = 30\pi$ cm，可得方程：
$\frac{135\pi R}{180}=30\pi$
化简得：$\frac{3\pi R}{4}=30\pi$
两边同时除以$\pi$：$\frac{3R}{4}=30$
解得：$R = 40$
40

7. 如图,四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,$\odot O$的半径为 2,$\angle D= 110°$,则$\widehat{AC}$的长为______.

$\frac{14}{9}\pi$

证明：
∵四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
∴$\angle D + \angle B = 180°$。
∵$\angle D = 110°$，
∴$\angle B = 180° - 110° = 70°$。
∵$\angle B$是$\odot O$的圆周角，其所对弧为$\widehat{ADC}$，
∴$\widehat{ADC}$的度数为$2\angle B = 2 × 70° = 140°$。
∵$\odot O$的半径$r = 2$，
∴$\widehat{AC}$的长为$\frac{140°}{360°} × 2\pi r = \frac{140}{360} × 2\pi × 2 = \frac{14}{9}\pi$。
$\frac{14}{9}\pi$

8. 如图,公路弯道标志$\boxed{R= m}$表示圆弧道路所在圆的半径为 m 米,某车在标有 R= 300 处的弯道上从点 A 行驶了$100\pi$米到达点 B,则线段 AB= ______米.

300

解：设弯道所在圆的圆心为$O$，半径$OA = OB = 300$米。
弧长$l = 100\pi$米，由弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$，得$100\pi=\frac{n\pi×300}{180}$，解得$n = 60$，即$\angle AOB=60°$。
因为$OA = OB$，所以$\triangle AOB$是等边三角形，故$AB=OA = 300$米。
300