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7. 目前，我国已成为全球最大的电动汽车市场. 经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少 0.6 元. 已知当充电费和加油费均为 200 元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的 4 倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费.
答案
7. 设电动汽车平均充电费为 $x$ 元/km，根据题意，得 $\frac{200}{x} = 4×\frac{200}{x + 0.6}$，解得 $x = 0.2$，所以充电费是 $0.2$ 元/km
解析
【分析】
首先明确题目中的核心等量关系：当充电费和加油费均为200元时，电动汽车行驶的总路程是燃油车的4倍。我们可以设这款电动汽车平均每千米的充电费为$x$元，结合“电动汽车平均每千米的充电费比燃油车少0.6元”，可表示出燃油车平均每千米的加油费为$(x+0.6)$元。再根据“路程=总费用÷每千米费用”的关系，分别写出两种车的行驶路程，最后依据路程的倍数关系列出分式方程求解即可。
【解析】
设这款电动汽车平均每千米的充电费为$x$元，则燃油车平均每千米的加油费为$(x+0.6)$元。
根据题意，总费用为200元时电动汽车行驶路程是燃油车的4倍，列方程得：
$\frac{200}{x} = 4×\frac{200}{x + 0.6}$
方程两边同时除以200，化简得：
$\frac{1}{x} = \frac{4}{x + 0.6}$
交叉相乘去分母得：
$x + 0.6 = 4x$
移项、合并同类项得：
$3x = 0.6$
解得：
$x = 0.2$
经检验，$x = 0.2$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：这款电动汽车平均每千米的充电费为0.2元。
【答案】
0.2元/km
【知识点】
分式方程的实际应用、单价总价数量关系
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，解题关键是准确提炼等量关系，利用“路程、总费用、单位路程费用”的数量关系构建方程，注意解分式方程后必须进行检验，保证解符合实际场景。
【难度系数】
0.7
首先明确题目中的核心等量关系：当充电费和加油费均为200元时，电动汽车行驶的总路程是燃油车的4倍。我们可以设这款电动汽车平均每千米的充电费为$x$元，结合“电动汽车平均每千米的充电费比燃油车少0.6元”，可表示出燃油车平均每千米的加油费为$(x+0.6)$元。再根据“路程=总费用÷每千米费用”的关系，分别写出两种车的行驶路程，最后依据路程的倍数关系列出分式方程求解即可。
【解析】
设这款电动汽车平均每千米的充电费为$x$元，则燃油车平均每千米的加油费为$(x+0.6)$元。
根据题意，总费用为200元时电动汽车行驶路程是燃油车的4倍，列方程得：
$\frac{200}{x} = 4×\frac{200}{x + 0.6}$
方程两边同时除以200，化简得：
$\frac{1}{x} = \frac{4}{x + 0.6}$
交叉相乘去分母得：
$x + 0.6 = 4x$
移项、合并同类项得：
$3x = 0.6$
解得：
$x = 0.2$
经检验，$x = 0.2$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：这款电动汽车平均每千米的充电费为0.2元。
【答案】
0.2元/km
【知识点】
分式方程的实际应用、单价总价数量关系
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，解题关键是准确提炼等量关系，利用“路程、总费用、单位路程费用”的数量关系构建方程，注意解分式方程后必须进行检验，保证解符合实际场景。
【难度系数】
0.7
8. 小明去文具店买文具，回来后和小丽的对话如图所示.
（1）请你通过计算分析，小丽为什么说小明搞错了？
（2）小明核实账单后发现原来自己把中性笔与圆珠笔单价的差值算错了. 已知中性笔和圆珠笔的单价均为整数，若每支中性笔比圆珠笔贵 $ m $ 元（$ 0 ＜ m ＜ 6 $），求 $ m $ 的值.
（1）请你通过计算分析，小丽为什么说小明搞错了？
（2）小明核实账单后发现原来自己把中性笔与圆珠笔单价的差值算错了. 已知中性笔和圆珠笔的单价均为整数，若每支中性笔比圆珠笔贵 $ m $ 元（$ 0 ＜ m ＜ 6 $），求 $ m $ 的值.
答案
8. (1) 由题意可知，每支中性笔为 $(x + 1.2)$ 元. 由题意，得 $\frac{21}{x + 1.2} = \frac{12}{x}$，解得 $x = 1.6$，经检验，$x = 1.6$ 是原方程的解，此时，圆珠笔的数量为 $12÷1.6 = 7.5$（支），
∵ 圆珠笔的数量为整数，
∴ $x = 1.6$ 不符合题意. 小明搞错了 (2) 由题意可知，每支中性笔为 $(x + m)$ 元. 由题意，得 $\frac{21}{x + m} = \frac{12}{x}$，解得 $x = \frac{4m}{3}$.
∵ 中性笔和圆珠笔的单价均为整数，
∴ 整数 $m = 3$，
∴ $x = 4$. 经检验，$x = 4$ 是原方程的解，且符合题意. $m$ 的值为 3
∵ 圆珠笔的数量为整数，
∴ $x = 1.6$ 不符合题意. 小明搞错了 (2) 由题意可知，每支中性笔为 $(x + m)$ 元. 由题意，得 $\frac{21}{x + m} = \frac{12}{x}$，解得 $x = \frac{4m}{3}$.
∵ 中性笔和圆珠笔的单价均为整数，
∴ 整数 $m = 3$，
∴ $x = 4$. 经检验，$x = 4$ 是原方程的解，且符合题意. $m$ 的值为 3
解析
【分析】
（1）要判断小明是否搞错，可先设圆珠笔单价为$x$元，中性笔单价为$(x+1.2)$元，利用“两种笔数量相同”这一等量关系列分式方程求解，若解得的笔的数量不是正整数，就说明小明的说法不符合实际情况。
（2）同样设圆珠笔单价为$x$元，中性笔单价为$(x+m)$元，根据数量相等列方程，用$m$表示出$x$，再结合“单价为整数”以及$m$的取值范围，确定$m$的整数值，最后检验解的合理性。
【解析】
（1）设每支圆珠笔的单价为$ x $元，则每支中性笔的单价为$ (x + 1.2) $元。
根据中性笔和圆珠笔数量相同，列方程：
$\frac{21}{x + 1.2} = \frac{12}{x}$
解方程：
交叉相乘得：$ 21x = 12(x + 1.2) $
展开括号：$ 21x = 12x + 14.4 $
移项合并同类项：$ 9x = 14.4 $
解得：$ x = 1.6 $
经检验，$ x = 1.6 $是原分式方程的解。
此时圆珠笔的数量为$ 12÷1.6 = 7.5 $支，
因为笔的数量必须是正整数，$7.5$不是整数，不符合实际，所以小明搞错了。
（2）设每支圆珠笔的单价为$ x $元，则每支中性笔的单价为$ (x + m) $元。
根据两种笔数量相同，列方程：
$\frac{21}{x + m} = \frac{12}{x}$
解方程：
交叉相乘得：$ 21x = 12(x + m) $
展开括号：$ 21x = 12x + 12m $
移项合并同类项：$ 9x = 12m $
化简得：$ x = \frac{4m}{3} $
因为中性笔和圆珠笔的单价均为整数，且$ 0 ＜ m ＜ 6 $（$m$为整数），
所以$\frac{4m}{3}$必须为整数，即$m$是3的倍数，
在$0 ＜ m ＜ 6$的整数中，只有$m=3$时，$x=\frac{4×3}{3}=4$，符合整数要求。
经检验，$x=4$是原分式方程的解，此时中性笔单价为$4+3=7$元，均为整数，符合题意。
【答案】
（1）因为计算得出笔的数量为$7.5$支，不是正整数，不符合实际，所以小明搞错了；
（2）$m$的值为$3$
【知识点】
分式方程的应用、整数解的确定
【点评】
本题考查分式方程在实际问题中的应用，核心是抓住“数量相等”这一等量关系建立方程，同时要结合实际问题中“笔的数量、单价为正整数”的限制条件，解分式方程后必须检验，确保解符合题意和实际场景。
【难度系数】
0.6
（1）要判断小明是否搞错，可先设圆珠笔单价为$x$元，中性笔单价为$(x+1.2)$元，利用“两种笔数量相同”这一等量关系列分式方程求解，若解得的笔的数量不是正整数，就说明小明的说法不符合实际情况。
（2）同样设圆珠笔单价为$x$元，中性笔单价为$(x+m)$元，根据数量相等列方程，用$m$表示出$x$，再结合“单价为整数”以及$m$的取值范围，确定$m$的整数值，最后检验解的合理性。
【解析】
（1）设每支圆珠笔的单价为$ x $元，则每支中性笔的单价为$ (x + 1.2) $元。
根据中性笔和圆珠笔数量相同，列方程：
$\frac{21}{x + 1.2} = \frac{12}{x}$
解方程：
交叉相乘得：$ 21x = 12(x + 1.2) $
展开括号：$ 21x = 12x + 14.4 $
移项合并同类项：$ 9x = 14.4 $
解得：$ x = 1.6 $
经检验，$ x = 1.6 $是原分式方程的解。
此时圆珠笔的数量为$ 12÷1.6 = 7.5 $支，
因为笔的数量必须是正整数，$7.5$不是整数，不符合实际，所以小明搞错了。
（2）设每支圆珠笔的单价为$ x $元，则每支中性笔的单价为$ (x + m) $元。
根据两种笔数量相同，列方程：
$\frac{21}{x + m} = \frac{12}{x}$
解方程：
交叉相乘得：$ 21x = 12(x + m) $
展开括号：$ 21x = 12x + 12m $
移项合并同类项：$ 9x = 12m $
化简得：$ x = \frac{4m}{3} $
因为中性笔和圆珠笔的单价均为整数，且$ 0 ＜ m ＜ 6 $（$m$为整数），
所以$\frac{4m}{3}$必须为整数，即$m$是3的倍数，
在$0 ＜ m ＜ 6$的整数中，只有$m=3$时，$x=\frac{4×3}{3}=4$，符合整数要求。
经检验，$x=4$是原分式方程的解，此时中性笔单价为$4+3=7$元，均为整数，符合题意。
【答案】
（1）因为计算得出笔的数量为$7.5$支，不是正整数，不符合实际，所以小明搞错了；
（2）$m$的值为$3$
【知识点】
分式方程的应用、整数解的确定
【点评】
本题考查分式方程在实际问题中的应用，核心是抓住“数量相等”这一等量关系建立方程，同时要结合实际问题中“笔的数量、单价为正整数”的限制条件，解分式方程后必须检验，确保解符合题意和实际场景。
【难度系数】
0.6
9. 甲、乙二人分别从 A，B 两地同时出发，相向而行. 出发时他们的速度之比是 $ 3:2 $，第一次相遇后，甲的速度提高了 20%，乙的速度提高了 30%，当甲到达 B 地时，乙距离 A 地还有 14 km. 求 A，B 两地之间的距离.
答案
9. 设两地距离是 $s$ km，出发时甲、乙的速度分别是 $3x$，$2x$，则第一次相遇时甲、乙所走的路程分别为 $\frac{3s}{5} = 0.6s$ km，$\frac{2s}{5} = 0.4s$ km，根据题意，可列方程 $\frac{0.4s}{3x(1 + 20\%)} = \frac{0.6s - 14}{2x(1 + 30\%)}$，去分母，得 $2.6×0.4s = 3.6×(0.6s - 14)$，整理，得 $1.12s - 50.4 = 0$，解得 $s = 45$. A，B 两地间的距离是 $45$ km
解析
【分析】
这是一道变速相遇行程问题，解题思路如下：
1. 相遇问题中，同时出发相向而行，时间相同时路程比等于速度比。已知出发时甲、乙速度比为$3:2$，因此第一次相遇时，甲、乙的路程比也为$3:2$，可据此用总路程$s$表示出相遇时两人各自走的路程。
2. 相遇后两人速度变化，分别计算出甲、乙提速后的速度。
3. 甲到达B地时，行驶的路程是相遇前乙走的路程；此时乙距离A地还有14km，乙行驶的路程是相遇前甲走的路程减去14km。由于两人从相遇后到甲到达B地的行驶时间相同，根据“时间=路程÷速度”的关系，可列出关于$s$的方程，进而求解总路程。
【解析】
设A、B两地之间的距离为$s$ km，出发时甲的速度为$3x$ km/h，乙的速度为$2x$ km/h。
1. 第一次相遇时，甲、乙行驶时间相同，路程比等于速度比$3:2$，因此：
甲走的路程为$\frac{3}{3+2}s = 0.6s$ km，
乙走的路程为$\frac{2}{3+2}s = 0.4s$ km。
2. 相遇后，甲、乙的速度分别变为：
甲的速度：$3x×(1+20\%)=3.6x$ km/h，
乙的速度：$2x×(1+30\%)=2.6x$ km/h。
3. 甲从相遇点到达B地的路程为$0.4s$ km，所用时间为$\frac{0.4s}{3.6x}$；
这段时间内，乙走的路程为$0.6s - 14$ km，所用时间为$\frac{0.6s - 14}{2.6x}$。
4. 由于两人这段行驶时间相等，列方程：
$\frac{0.4s}{3.6x} = \frac{0.6s - 14}{2.6x}$
因$x≠0$，方程两边同时约去$x$，再去分母得：
$2.6×0.4s = 3.6×(0.6s - 14)$
展开整理：
$1.04s = 2.16s - 50.4$
$2.16s - 1.04s = 50.4$
$1.12s = 50.4$
解得：$s = 45$
【答案】
45 km
【知识点】
相遇问题路程比、变速行程问题、列方程解应用题
【点评】
本题是典型的变速相遇行程问题，核心是抓住“相遇后甲到达B地时，两人行驶时间相等”这一等量关系，利用速度、路程、时间的基本关系列方程求解。通过设份数形式的速度（$3x$、$2x$），可简化计算过程，解题时需注意梳理各阶段的路程、速度关系，准确找到等量关系。
【难度系数】
0.3
这是一道变速相遇行程问题，解题思路如下：
1. 相遇问题中，同时出发相向而行，时间相同时路程比等于速度比。已知出发时甲、乙速度比为$3:2$，因此第一次相遇时，甲、乙的路程比也为$3:2$，可据此用总路程$s$表示出相遇时两人各自走的路程。
2. 相遇后两人速度变化，分别计算出甲、乙提速后的速度。
3. 甲到达B地时，行驶的路程是相遇前乙走的路程；此时乙距离A地还有14km，乙行驶的路程是相遇前甲走的路程减去14km。由于两人从相遇后到甲到达B地的行驶时间相同，根据“时间=路程÷速度”的关系，可列出关于$s$的方程，进而求解总路程。
【解析】
设A、B两地之间的距离为$s$ km，出发时甲的速度为$3x$ km/h，乙的速度为$2x$ km/h。
1. 第一次相遇时，甲、乙行驶时间相同，路程比等于速度比$3:2$，因此：
甲走的路程为$\frac{3}{3+2}s = 0.6s$ km，
乙走的路程为$\frac{2}{3+2}s = 0.4s$ km。
2. 相遇后，甲、乙的速度分别变为：
甲的速度：$3x×(1+20\%)=3.6x$ km/h，
乙的速度：$2x×(1+30\%)=2.6x$ km/h。
3. 甲从相遇点到达B地的路程为$0.4s$ km，所用时间为$\frac{0.4s}{3.6x}$；
这段时间内，乙走的路程为$0.6s - 14$ km，所用时间为$\frac{0.6s - 14}{2.6x}$。
4. 由于两人这段行驶时间相等，列方程：
$\frac{0.4s}{3.6x} = \frac{0.6s - 14}{2.6x}$
因$x≠0$，方程两边同时约去$x$，再去分母得：
$2.6×0.4s = 3.6×(0.6s - 14)$
展开整理：
$1.04s = 2.16s - 50.4$
$2.16s - 1.04s = 50.4$
$1.12s = 50.4$
解得：$s = 45$
【答案】
45 km
【知识点】
相遇问题路程比、变速行程问题、列方程解应用题
【点评】
本题是典型的变速相遇行程问题，核心是抓住“相遇后甲到达B地时，两人行驶时间相等”这一等量关系，利用速度、路程、时间的基本关系列方程求解。通过设份数形式的速度（$3x$、$2x$），可简化计算过程，解题时需注意梳理各阶段的路程、速度关系，准确找到等量关系。
【难度系数】
0.3
