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1. 在方程 $ x + 5y = 8 $，$ 8x - y = 3 $ 中，每个方程含有
2
个未知数，并且含未知数的项的次数都是1
次，这样的方程叫作二元一次方程
。答案
1.2 1 二元一次方程
解析
【解析】
观察方程$x + 5y = 8$和$8x - y = 3$，每个方程含有2个未知数；两个方程中含未知数的项的次数都是1次；根据数学定义，这样的方程叫作二元一次方程。
【答案】
2；1；二元一次方程
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题主要考查二元一次方程的基础定义，需准确掌握“含两个未知数”“含未知数的项的次数为1”这两个关键特征，属于基础概念类题目。
【难度系数】
0.9
观察方程$x + 5y = 8$和$8x - y = 3$，每个方程含有2个未知数；两个方程中含未知数的项的次数都是1次；根据数学定义，这样的方程叫作二元一次方程。
【答案】
2；1；二元一次方程
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题主要考查二元一次方程的基础定义，需准确掌握“含两个未知数”“含未知数的项的次数为1”这两个关键特征，属于基础概念类题目。
【难度系数】
0.9
2. 下列方程：①$ x^{2} + 5y = 8 $；②$ z = 3x + 20 $；③$ 7x + \frac{7}{y} = 49 $；④$ 8y + 10x $。其中是二元一次方程的是
②
。(填序号)答案
2. ②
解析
【解析】
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一分析：
①$x^{2}+5y=8$中$x$的次数是2，不符合“次数为1”的要求，不是二元一次方程；
②$z=3x+20$含有两个未知数$x$、$z$，含未知数的项次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义；
③$7x+\frac{7}{y}=49$中$\frac{7}{y}$是分式，不是整式方程，不符合定义；
④$8y+10x$是代数式，不是等式，不构成方程。
因此只有②是二元一次方程。
【答案】
②
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题考查二元一次方程的判定，需紧扣定义的三个核心要点：含两个未知数、未知项次数为1、是整式方程，注意区分方程与代数式，避免将分式方程、高次方程误判为二元一次方程。
【难度系数】
0.8
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一分析：
①$x^{2}+5y=8$中$x$的次数是2，不符合“次数为1”的要求，不是二元一次方程；
②$z=3x+20$含有两个未知数$x$、$z$，含未知数的项次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义；
③$7x+\frac{7}{y}=49$中$\frac{7}{y}$是分式，不是整式方程，不符合定义；
④$8y+10x$是代数式，不是等式，不构成方程。
因此只有②是二元一次方程。
【答案】
②
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题考查二元一次方程的判定，需紧扣定义的三个核心要点：含两个未知数、未知项次数为1、是整式方程，注意区分方程与代数式，避免将分式方程、高次方程误判为二元一次方程。
【难度系数】
0.8
3. 已知二元一次方程 $ 4x - y = 8 $，写出该方程的两组整数解：。
答案
3. $\begin{cases}x = 1,\\y = -4,\end{cases}\begin{cases}x = 2,\\y = 0.\end{cases}$（答案不唯一）
解析
【解析】
要找二元一次方程$4x - y = 8$的整数解，可通过给$x$取整数值，代入方程求解$y$的对应整数值：
1. 当$x=1$时，代入方程得$4×1 - y = 8$，解得$y=-4$，得到一组解$\begin{cases}x = 1,\\y = -4;\end{cases}$
2. 当$x=2$时，代入方程得$4×2 - y = 8$，解得$y=0$，得到一组解$\begin{cases}x = 2,\\y = 0.\end{cases}$
（也可取其他整数$x$，只要对应的$y$为整数即可，答案不唯一）
【答案】
$\begin{cases}x = 1,\\y = -4,\end{cases}\begin{cases}x = 2,\\y = 0.\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程的整数解、二元一次方程的解
【点评】
二元一次方程有无数组解，求其整数解时，可固定其中一个未知数的整数值，代入方程求出另一个未知数的对应整数值，答案不唯一，只要满足方程即可。
【难度系数】
0.9
要找二元一次方程$4x - y = 8$的整数解，可通过给$x$取整数值，代入方程求解$y$的对应整数值：
1. 当$x=1$时，代入方程得$4×1 - y = 8$，解得$y=-4$，得到一组解$\begin{cases}x = 1,\\y = -4;\end{cases}$
2. 当$x=2$时，代入方程得$4×2 - y = 8$，解得$y=0$，得到一组解$\begin{cases}x = 2,\\y = 0.\end{cases}$
（也可取其他整数$x$，只要对应的$y$为整数即可，答案不唯一）
【答案】
$\begin{cases}x = 1,\\y = -4,\end{cases}\begin{cases}x = 2,\\y = 0.\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程的整数解、二元一次方程的解
【点评】
二元一次方程有无数组解，求其整数解时，可固定其中一个未知数的整数值，代入方程求出另一个未知数的对应整数值，答案不唯一，只要满足方程即可。
【难度系数】
0.9
4. 已知二元一次方程 $ x + 5y = 10 $。
(1)用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $：
(2)用含 $ y $ 的代数式表示 $ x $：
（3）写出这个方程的三组解：
①$ \begin{cases} x = \_\_\_\_\_\_, \\ y = 1; \end{cases} $
②$ \begin{cases} x = \_\_\_\_\_\_, \\ y = -3; \end{cases} $
③$ \begin{cases} x = 15, \\ y = \_\_\_\_\_\_. \end{cases} $
(1)用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $：
$y = \frac{10 - x}{5}$
。(2)用含 $ y $ 的代数式表示 $ x $：
$x = 10 - 5y$
。（3）写出这个方程的三组解：
①$ \begin{cases} x = \_\_\_\_\_\_, \\ y = 1; \end{cases} $
②$ \begin{cases} x = \_\_\_\_\_\_, \\ y = -3; \end{cases} $
③$ \begin{cases} x = 15, \\ y = \_\_\_\_\_\_. \end{cases} $
答案
4. (1)$y = \frac{10 - x}{5}$
(2)$x = 10 - 5y$
(3)①5 ②25 ③-1
(2)$x = 10 - 5y$
(3)①5 ②25 ③-1
解析
【解析】
(1) 对二元一次方程 $x + 5y = 10$ 进行变形，移项得 $5y = 10 - x$，两边同时除以5，可得 $y = \frac{10 - x}{5}$。
(2) 对二元一次方程 $x + 5y = 10$ 进行变形，移项得 $x = 10 - 5y$。
(3) ①把 $y=1$ 代入方程 $x + 5y = 10$，得 $x + 5×1 = 10$，解得 $x=5$；
②把 $y=-3$ 代入方程 $x + 5y = 10$，得 $x + 5×(-3) = 10$，解得 $x=25$；
③把 $x=15$ 代入方程 $x + 5y = 10$，得 $15 + 5y = 10$，解得 $y=-1$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y = \frac{10 - x}{5}}$
(2)$\boldsymbol{x = 10 - 5y}$
(3)①$\boldsymbol{5}$；②$\boldsymbol{25}$；③$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二元一次方程变形、二元一次方程的解
【点评】
本题考查二元一次方程的变形及解的求解，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的移项方法，以及代入已知未知数的值求另一个未知数的方法是解题关键。
【难度系数】
0.9
(1) 对二元一次方程 $x + 5y = 10$ 进行变形，移项得 $5y = 10 - x$，两边同时除以5，可得 $y = \frac{10 - x}{5}$。
(2) 对二元一次方程 $x + 5y = 10$ 进行变形，移项得 $x = 10 - 5y$。
(3) ①把 $y=1$ 代入方程 $x + 5y = 10$，得 $x + 5×1 = 10$，解得 $x=5$；
②把 $y=-3$ 代入方程 $x + 5y = 10$，得 $x + 5×(-3) = 10$，解得 $x=25$；
③把 $x=15$ 代入方程 $x + 5y = 10$，得 $15 + 5y = 10$，解得 $y=-1$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y = \frac{10 - x}{5}}$
(2)$\boldsymbol{x = 10 - 5y}$
(3)①$\boldsymbol{5}$；②$\boldsymbol{25}$；③$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二元一次方程变形、二元一次方程的解
【点评】
本题考查二元一次方程的变形及解的求解，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的移项方法，以及代入已知未知数的值求另一个未知数的方法是解题关键。
【难度系数】
0.9
5. 下列各组数中，是二元一次方程 $ 5b = 45 - 3a $ 的一组解的是(
A.$ \begin{cases} a = 3, \\ b = 10 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} a = 4, \\ b = 8 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} a = 5, \\ b = 6 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} a = \frac{5}{3}, \\ b = 10 \end{cases} $
C
)A.$ \begin{cases} a = 3, \\ b = 10 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} a = 4, \\ b = 8 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} a = 5, \\ b = 6 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} a = \frac{5}{3}, \\ b = 10 \end{cases} $
答案
5. C
解析
【解析】
分别将各选项中的$a$、$b$值代入二元一次方程$5b = 45 - 3a$，验证左右两边是否相等：
选项A：左边$5×10=50$，右边$45-3×3=36$，$50≠36$，不是方程的解；
选项B：左边$5×8=40$，右边$45-3×4=33$，$40≠33$，不是方程的解；
选项C：左边$5×6=30$，右边$45-3×5=30$，$30=30$，是方程的解；
选项D：左边$5×10=50$，右边$45-3×\frac{5}{3}=40$，$50≠40$，不是方程的解。
因此，选项C是方程的一组解。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解
【点评】
本题考查二元一次方程解的验证，核心是利用代入法判断未知数的值是否满足方程，属于基础题，侧重对基本概念的考查。
【难度系数】
0.8
分别将各选项中的$a$、$b$值代入二元一次方程$5b = 45 - 3a$，验证左右两边是否相等：
选项A：左边$5×10=50$，右边$45-3×3=36$，$50≠36$，不是方程的解；
选项B：左边$5×8=40$，右边$45-3×4=33$，$40≠33$，不是方程的解；
选项C：左边$5×6=30$，右边$45-3×5=30$，$30=30$，是方程的解；
选项D：左边$5×10=50$，右边$45-3×\frac{5}{3}=40$，$50≠40$，不是方程的解。
因此，选项C是方程的一组解。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解
【点评】
本题考查二元一次方程解的验证，核心是利用代入法判断未知数的值是否满足方程，属于基础题，侧重对基本概念的考查。
【难度系数】
0.8
6. 某次知识竞赛共有 20 道题，规定：每答对一题得 $ +5 $ 分，每答错一题得 $ -2 $ 分，不答的题得 0 分。已知圆圆这次竞赛得了 60 分。设圆圆答对了 $ x $ 道题，答错了 $ y $ 道题，则(
A.$ x - y = 20 $
B.$ x + y = 20 $
C.$ 5x - 2y = 60 $
D.$ 5x + 2y = 60 $
C
)A.$ x - y = 20 $
B.$ x + y = 20 $
C.$ 5x - 2y = 60 $
D.$ 5x + 2y = 60 $
答案
6. C
解析
【解析】
根据竞赛得分规则，答对$x$道题得$5x$分，答错$y$道题得$-2y$分，不答的题得0分，圆圆最终得分60分，因此可列方程：$5x - 2y = 60$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列二元一次方程、实际问题与方程
【点评】
本题考查根据实际竞赛得分情况列方程，解题关键是明确答对、答错的得分计算方式，理清总分与各部分得分的关系，题目基础易懂。
【难度系数】
0.8
根据竞赛得分规则，答对$x$道题得$5x$分，答错$y$道题得$-2y$分，不答的题得0分，圆圆最终得分60分，因此可列方程：$5x - 2y = 60$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列二元一次方程、实际问题与方程
【点评】
本题考查根据实际竞赛得分情况列方程，解题关键是明确答对、答错的得分计算方式，理清总分与各部分得分的关系，题目基础易懂。
【难度系数】
0.8
