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(1) 问题中包含了哪些必须同时满足的条件?
(2) 设 1 元、5 元、10 元的纸币分别有 $ x $ 张、$ y $ 张、$ z $ 张，用方程组把这些条件表示出来.
(3) 试用消元法解这个方程组.
(2) 设 1 元、5 元、10 元的纸币分别有 $ x $ 张、$ y $ 张、$ z $ 张，用方程组把这些条件表示出来.
(3) 试用消元法解这个方程组.
答案
(1)必须同时满足的条件为：
$1$元，$5$元，$10$元纸币共$16$张，总金额为$70$元（或可表示为$1$元纸币金额+$5$元纸币金额+$10$元纸币金额$= 70$元）。
(2)根据题意，方程组为：
$\begin{cases}x + y + z = 16, \\x + 5y + 10z = 70.\end{cases}$
(3) 由$x + y + z = 16$得$x=16-y-z$，代入$x + 5y + 10z = 70$得：
$16-y-z+ 5y + 10z = 70$，
$4y+9z= 54$，
$4y=54-9z$，
$y=\frac{54-9z}{4}$，
因为$x,y,z$都是正整数，
所以$z=2$或$z=6$,
当$z=2$时，代入$x=16-y-z$，$y=\frac{54-9z}{4}$得：
$y=9$，$x=5$，
当$z=6$时，代入$x=16-y-z$，$y=\frac{54-9z}{4}$得：
$y=0$（不合题意，舍去），
$x=10$（不合题意，舍去），
所以方程组的解为：
$\begin{cases}x = 5, \\y = 9, \\z= 2.\end{cases}$
$1$元，$5$元，$10$元纸币共$16$张，总金额为$70$元（或可表示为$1$元纸币金额+$5$元纸币金额+$10$元纸币金额$= 70$元）。
(2)根据题意，方程组为：
$\begin{cases}x + y + z = 16, \\x + 5y + 10z = 70.\end{cases}$
(3) 由$x + y + z = 16$得$x=16-y-z$，代入$x + 5y + 10z = 70$得：
$16-y-z+ 5y + 10z = 70$，
$4y+9z= 54$，
$4y=54-9z$，
$y=\frac{54-9z}{4}$，
因为$x,y,z$都是正整数，
所以$z=2$或$z=6$,
当$z=2$时，代入$x=16-y-z$，$y=\frac{54-9z}{4}$得：
$y=9$，$x=5$，
当$z=6$时，代入$x=16-y-z$，$y=\frac{54-9z}{4}$得：
$y=0$（不合题意，舍去），
$x=10$（不合题意，舍去），
所以方程组的解为：
$\begin{cases}x = 5, \\y = 9, \\z= 2.\end{cases}$
解析
【分析】
（1）思考时需从纸币的数量和总金额两个核心维度出发，挖掘题目中隐含的同时成立的约束条件，即三种纸币的总张数固定、总金额固定，这两个条件是必须同时满足的。
（2）根据设出的未知数，利用“三种纸币共16张”可列出关于张数的方程，利用“三种纸币总金额为70元”，结合每种纸币的面值与数量的乘积之和等于总金额，可列出关于金额的方程，进而得到方程组。
（3）解方程组时，采用代入消元法，先从第一个方程中用y、z表示x，代入第二个方程消去x，得到关于y和z的二元一次方程，再结合纸币张数为正整数的实际意义，找出符合条件的z的整数值，进而求出y和x的值，同时舍去不符合正整数要求的解。
【解析】
(1) 必须同时满足的条件为：1元、5元、10元纸币共16张，总金额为70元（或可表示为1元纸币金额+5元纸币金额+10元纸币金额=70元）。
(2) 根据题意，可列出方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 16, \\x + 5y + 10z = 70.\end{cases}$
(3) 用消元法解方程组的步骤如下：
① 由方程$x + y + z = 16$，移项得$x = 16 - y - z$；
② 将$x = 16 - y - z$代入方程$x + 5y + 10z = 70$，可得：
$16 - y - z + 5y + 10z = 70$，
合并同类项得：$4y + 9z = 54$，
变形为：$y = \frac{54 - 9z}{4}$；
③ 因为$x$、$y$、$z$均为正整数，所以$54 - 9z$必须是4的正整数倍，且$y＞0$、$x＞0$、$z＞0$。
当$z=2$时，$y = \frac{54 - 9×2}{4} = 9$，代入$x = 16 - y - z$得$x = 16 - 9 - 2 = 5$，符合正整数要求；
当$z=6$时，$y = \frac{54 - 9×6}{4} = 0$，此时$y=0$不符合正整数要求，舍去，对应的$x=16 - 0 - 6=10$也随之舍去；
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = 9, \\z= 2.\end{cases}$
【答案】
(1) 1元、5元、10元纸币共16张，总金额为70元；
(2) $\begin{cases}x + y + z = 16, \\x + 5y + 10z = 70.\end{cases}$；
(3) $\begin{cases}x = 5, \\y = 9, \\z= 2.\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组应用，消元法解方程组，整数解判断
【点评】
本题考查三元一次方程组在实际问题中的应用，关键是准确提取题目中的数量关系建立方程组，同时要结合纸币张数为正整数的实际意义筛选出符合要求的解，体现了数学建模和分类讨论的思想。
【难度系数】
0.6
（1）思考时需从纸币的数量和总金额两个核心维度出发，挖掘题目中隐含的同时成立的约束条件，即三种纸币的总张数固定、总金额固定，这两个条件是必须同时满足的。
（2）根据设出的未知数，利用“三种纸币共16张”可列出关于张数的方程，利用“三种纸币总金额为70元”，结合每种纸币的面值与数量的乘积之和等于总金额，可列出关于金额的方程，进而得到方程组。
（3）解方程组时，采用代入消元法，先从第一个方程中用y、z表示x，代入第二个方程消去x，得到关于y和z的二元一次方程，再结合纸币张数为正整数的实际意义，找出符合条件的z的整数值，进而求出y和x的值，同时舍去不符合正整数要求的解。
【解析】
(1) 必须同时满足的条件为：1元、5元、10元纸币共16张，总金额为70元（或可表示为1元纸币金额+5元纸币金额+10元纸币金额=70元）。
(2) 根据题意，可列出方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 16, \\x + 5y + 10z = 70.\end{cases}$
(3) 用消元法解方程组的步骤如下：
① 由方程$x + y + z = 16$，移项得$x = 16 - y - z$；
② 将$x = 16 - y - z$代入方程$x + 5y + 10z = 70$，可得：
$16 - y - z + 5y + 10z = 70$，
合并同类项得：$4y + 9z = 54$，
变形为：$y = \frac{54 - 9z}{4}$；
③ 因为$x$、$y$、$z$均为正整数，所以$54 - 9z$必须是4的正整数倍，且$y＞0$、$x＞0$、$z＞0$。
当$z=2$时，$y = \frac{54 - 9×2}{4} = 9$，代入$x = 16 - y - z$得$x = 16 - 9 - 2 = 5$，符合正整数要求；
当$z=6$时，$y = \frac{54 - 9×6}{4} = 0$，此时$y=0$不符合正整数要求，舍去，对应的$x=16 - 0 - 6=10$也随之舍去；
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = 9, \\z= 2.\end{cases}$
【答案】
(1) 1元、5元、10元纸币共16张，总金额为70元；
(2) $\begin{cases}x + y + z = 16, \\x + 5y + 10z = 70.\end{cases}$；
(3) $\begin{cases}x = 5, \\y = 9, \\z= 2.\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组应用，消元法解方程组，整数解判断
【点评】
本题考查三元一次方程组在实际问题中的应用，关键是准确提取题目中的数量关系建立方程组，同时要结合纸币张数为正整数的实际意义筛选出符合要求的解，体现了数学建模和分类讨论的思想。
【难度系数】
0.6
例 1 解方程组$\begin{cases}2x + 3y + z = 6, &①\\x - y + 2z = -1, &②\\x + 2y - z = 5. &③\end{cases}$
答案
①+③得：$3x+5y=11$ ④，
②+③$×2$得：$3x+3y=9$ ⑤，
④-⑤得：$2y=2$，解得$y=1$，
把$y = 1$代入⑤得：$3x+3 = 9$，解得$x=2$，
把$x = 2$，$y = 1$代入①得：$2×2+3×1+z=6$，解得$z=-1$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=1,\\z = - 1.\end{cases}$
②+③$×2$得：$3x+3y=9$ ⑤，
④-⑤得：$2y=2$，解得$y=1$，
把$y = 1$代入⑤得：$3x+3 = 9$，解得$x=2$，
把$x = 2$，$y = 1$代入①得：$2×2+3×1+z=6$，解得$z=-1$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=1,\\z = - 1.\end{cases}$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，将三元转化为二元，再转化为一元求解。观察方程组的三个方程，发现方程①和③中z的系数互为相反数，可直接相加消去z；方程②中z的系数是2，方程③中z的系数是-1，将③乘2后与②相加也能消去z，这样就能得到只含x、y的二元一次方程组，解出x、y后，再代入原方程求出z即可。
【解析】
①+③得：$3x + 5y = 11$ ④，
②+③×2得：$3x + 3y = 9$ ⑤，
④-⑤得：$2y = 2$，解得$y = 1$，
把$y = 1$代入⑤得：$3x + 3 = 9$，解得$x = 2$，
把$x = 2$，$y = 1$代入①得：$2×2 + 3×1 + z = 6$，解得$z = -1$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=1,\\z = - 1.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=2,\\y=1,\\z = - 1\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础题型，通过加减消元法逐步消去未知数z，将三元方程组转化为二元一次方程组求解，体现了消元转化的数学思想，掌握消元技巧是解这类方程组的关键。
【难度系数】
0.8
解三元一次方程组的核心思路是消元，将三元转化为二元，再转化为一元求解。观察方程组的三个方程，发现方程①和③中z的系数互为相反数，可直接相加消去z；方程②中z的系数是2，方程③中z的系数是-1，将③乘2后与②相加也能消去z，这样就能得到只含x、y的二元一次方程组，解出x、y后，再代入原方程求出z即可。
【解析】
①+③得：$3x + 5y = 11$ ④，
②+③×2得：$3x + 3y = 9$ ⑤，
④-⑤得：$2y = 2$，解得$y = 1$，
把$y = 1$代入⑤得：$3x + 3 = 9$，解得$x = 2$，
把$x = 2$，$y = 1$代入①得：$2×2 + 3×1 + z = 6$，解得$z = -1$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=1,\\z = - 1.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=2,\\y=1,\\z = - 1\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础题型，通过加减消元法逐步消去未知数z，将三元方程组转化为二元一次方程组求解，体现了消元转化的数学思想，掌握消元技巧是解这类方程组的关键。
【难度系数】
0.8
例 2 在 2024 年巴黎奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌 91 枚，令国人振奋，世界瞩目. 下面是两名同学的对话:
小明: “太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的 2 倍少 8 枚!”
小华: “是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多 3 枚!”
根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌.
小明: “太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的 2 倍少 8 枚!”
小华: “是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多 3 枚!”
根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌.
答案
设中国体育健儿获得铜牌$x$枚，金牌$y$枚，银牌$z$枚。
根据题意，得：
$\begin{cases}y = 2x - 8 \\z = x + 3 \\x + y + z = 91\end{cases}$
将$y = 2x - 8$，$z = x + 3$代入$x + y + z = 91$，得：
$x + (2x - 8) + (x + 3) = 91$
$x + 2x - 8 + x + 3 = 91$
$4x - 5 = 91$
$4x = 96$
$x = 24$
则$y = 2×24 - 8 = 40$，$z = 24 + 3 = 27$。
答：中国体育健儿获得金牌40枚，银牌27枚，铜牌24枚。
根据题意，得：
$\begin{cases}y = 2x - 8 \\z = x + 3 \\x + y + z = 91\end{cases}$
将$y = 2x - 8$，$z = x + 3$代入$x + y + z = 91$，得：
$x + (2x - 8) + (x + 3) = 91$
$x + 2x - 8 + x + 3 = 91$
$4x - 5 = 91$
$4x = 96$
$x = 24$
则$y = 2×24 - 8 = 40$，$z = 24 + 3 = 27$。
答：中国体育健儿获得金牌40枚，银牌27枚，铜牌24枚。
解析
【分析】
这是一道三元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：
1. 先确定未知量：金牌、银牌、铜牌的数量，分别设为未知数以便建立方程；
2. 从对话和已知条件中提取等量关系：金牌数 = 铜牌数×2 - 8，银牌数 = 铜牌数 + 3，金牌数+银牌数+铜牌数=91；
3. 建立三元一次方程组后，利用代入消元法，将用铜牌数表示的金牌、银牌数量代入总奖牌数的方程，先求出铜牌数量，再依次计算金牌和银牌的数量。
【解析】
设中国体育健儿获得铜牌$x$枚，金牌$y$枚，银牌$z$枚。
根据题意，可列出方程组：
$\begin{cases}y = 2x - 8 \\z = x + 3 \\x + y + z = 91\end{cases}$
将$y = 2x - 8$，$z = x + 3$代入$x + y + z = 91$，得：
$x + (2x - 8) + (x + 3) = 91$
去括号得：$x + 2x - 8 + x + 3 = 91$
合并同类项得：$4x - 5 = 91$
移项得：$4x = 91 + 5$
计算得：$4x = 96$
解得：$x = 24$
将$x=24$代入$y = 2x - 8$，得$y = 2×24 - 8 = 40$
将$x=24$代入$z = x + 3$，得$z = 24 + 3 = 27$
答：中国体育健儿获得金牌40枚，银牌27枚，铜牌24枚。
【答案】
金牌40枚，银牌27枚，铜牌24枚
【知识点】
三元一次方程组的应用、代入消元法
【点评】
本题是典型的列方程组解实际问题，重点考查了从实际对话中提取等量关系的能力，以及利用代入消元法解三元一次方程组的运算能力，解题关键是准确将实际问题转化为数学方程组模型。
【难度系数】
0.8
这是一道三元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：
1. 先确定未知量：金牌、银牌、铜牌的数量，分别设为未知数以便建立方程；
2. 从对话和已知条件中提取等量关系：金牌数 = 铜牌数×2 - 8，银牌数 = 铜牌数 + 3，金牌数+银牌数+铜牌数=91；
3. 建立三元一次方程组后，利用代入消元法，将用铜牌数表示的金牌、银牌数量代入总奖牌数的方程，先求出铜牌数量，再依次计算金牌和银牌的数量。
【解析】
设中国体育健儿获得铜牌$x$枚，金牌$y$枚，银牌$z$枚。
根据题意，可列出方程组：
$\begin{cases}y = 2x - 8 \\z = x + 3 \\x + y + z = 91\end{cases}$
将$y = 2x - 8$，$z = x + 3$代入$x + y + z = 91$，得：
$x + (2x - 8) + (x + 3) = 91$
去括号得：$x + 2x - 8 + x + 3 = 91$
合并同类项得：$4x - 5 = 91$
移项得：$4x = 91 + 5$
计算得：$4x = 96$
解得：$x = 24$
将$x=24$代入$y = 2x - 8$，得$y = 2×24 - 8 = 40$
将$x=24$代入$z = x + 3$，得$z = 24 + 3 = 27$
答：中国体育健儿获得金牌40枚，银牌27枚，铜牌24枚。
【答案】
金牌40枚，银牌27枚，铜牌24枚
【知识点】
三元一次方程组的应用、代入消元法
【点评】
本题是典型的列方程组解实际问题，重点考查了从实际对话中提取等量关系的能力，以及利用代入消元法解三元一次方程组的运算能力，解题关键是准确将实际问题转化为数学方程组模型。
【难度系数】
0.8
