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10. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$ 在 $CD$ 上，$BE = BC$. 求证：$AD = BE$，$∠ A = ∠ ABE$.
答案
10.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AD=BC，∠A=∠C，AB//CD.
∵ BE=BC，
∴ AD=BE.
∵ BE=BC，
∴ ∠BEC=∠C.
∵ AB//CD，
∴ ∠BEC=∠ABE，
∴ ∠C=∠ABE，
∴ ∠A=∠ABE
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AD=BC，∠A=∠C，AB//CD.
∵ BE=BC，
∴ AD=BE.
∵ BE=BC，
∴ ∠BEC=∠C.
∵ AB//CD，
∴ ∠BEC=∠ABE，
∴ ∠C=∠ABE，
∴ ∠A=∠ABE
解析
【分析】
要证明$AD=BE$和$∠ A=∠ ABE$，可借助平行四边形与等腰三角形的性质逐步推导：
1. 先利用平行四边形的性质，得到对边相等、对角相等、对边平行的结论，即$AD=BC$，$∠ A=∠ C$，$AB// CD$；
2. 结合已知$BE=BC$，通过等量代换直接证得$AD=BE$；
3. 对于角的相等关系，先由等腰三角形性质得出$∠ BEC=∠ C$，再利用平行线的内错角相等得到$∠ BEC=∠ ABE$，最后通过$∠ A=∠ C$完成等量代换，证得$∠ A=∠ ABE$。
【解析】
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
∴ $AD = BC$，$∠ A = ∠ C$，$AB // CD$。
∵ $BE = BC$，
∴ $AD = BE$（等量代换）。
∵ $BE = BC$，
∴ $∠ BEC = ∠ C$（等腰三角形两底角相等）。
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ BEC = ∠ ABE$（两直线平行，内错角相等）。
∴ $∠ C = ∠ ABE$（等量代换）。
又
∵ $∠ A = ∠ C$，
∴ $∠ A = ∠ ABE$（等量代换）。
【答案】
$AD = BE$，$∠ A = ∠ ABE$ 得证。
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是平行四边形与等腰三角形性质的综合基础题，解题核心是熟练运用平行四边形的边、角、对边平行的性质，以及等腰三角形的等角对等边性质，通过多次等量代换完成边与角的相等证明，需要学生理清各条件间的逻辑关系。
【难度系数】
0.7
要证明$AD=BE$和$∠ A=∠ ABE$，可借助平行四边形与等腰三角形的性质逐步推导：
1. 先利用平行四边形的性质，得到对边相等、对角相等、对边平行的结论，即$AD=BC$，$∠ A=∠ C$，$AB// CD$；
2. 结合已知$BE=BC$，通过等量代换直接证得$AD=BE$；
3. 对于角的相等关系，先由等腰三角形性质得出$∠ BEC=∠ C$，再利用平行线的内错角相等得到$∠ BEC=∠ ABE$，最后通过$∠ A=∠ C$完成等量代换，证得$∠ A=∠ ABE$。
【解析】
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
∴ $AD = BC$，$∠ A = ∠ C$，$AB // CD$。
∵ $BE = BC$，
∴ $AD = BE$（等量代换）。
∵ $BE = BC$，
∴ $∠ BEC = ∠ C$（等腰三角形两底角相等）。
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ BEC = ∠ ABE$（两直线平行，内错角相等）。
∴ $∠ C = ∠ ABE$（等量代换）。
又
∵ $∠ A = ∠ C$，
∴ $∠ A = ∠ ABE$（等量代换）。
【答案】
$AD = BE$，$∠ A = ∠ ABE$ 得证。
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是平行四边形与等腰三角形性质的综合基础题，解题核心是熟练运用平行四边形的边、角、对边平行的性质，以及等腰三角形的等角对等边性质，通过多次等量代换完成边与角的相等证明，需要学生理清各条件间的逻辑关系。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 在对角线 $AC$ 上，连接 $DE$，$BF$，使得 $∠ ADE = ∠ CBF$. 求证：$AE = CF$.
答案
11.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD=BC.
∴ ∠DAE=∠BCF. 在△ADE 与△CBF 中，{∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF，}
∴ △ADE≌△CBF（ASA）.
∴ AE=CF
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD=BC.
∴ ∠DAE=∠BCF. 在△ADE 与△CBF 中，{∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF，}
∴ △ADE≌△CBF（ASA）.
∴ AE=CF
解析
【分析】
要证明$AE = CF$，可通过证明包含这两条线段的三角形全等实现。观察图形可知$AE$在$△ ADE$中，$CF$在$△ CBF$中，因此需证$△ ADE ≌ △ CBF$。首先利用平行四边形的性质：平行四边形对边相等且平行，可得$AD=BC$，且$AD// BC$，进而推出内错角$∠ DAE=∠ BCF$；结合题目给出的$∠ ADE = ∠ CBF$，此时在$△ ADE$和$△ CBF$中，有两角及其夹边对应相等，满足ASA全等判定条件，证明全等后即可得到对应边$AE=CF$。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD=BC$，$AD// BC$，
∴ $∠ DAE=∠ BCF$。
在$△ ADE$与$△ CBF$中，
$\begin{cases}∠ ADE=∠ CBF \\AD=BC \\∠ DAE=∠ BCF\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ CBF$（ASA），
∴ $AE=CF$。
【答案】
$AE = CF$得证。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定（ASA），全等三角形的性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质得到证明三角形全等所需的边和角的条件，进而通过全等三角形的性质得出对应边相等。
【难度系数】
0.8
要证明$AE = CF$，可通过证明包含这两条线段的三角形全等实现。观察图形可知$AE$在$△ ADE$中，$CF$在$△ CBF$中，因此需证$△ ADE ≌ △ CBF$。首先利用平行四边形的性质：平行四边形对边相等且平行，可得$AD=BC$，且$AD// BC$，进而推出内错角$∠ DAE=∠ BCF$；结合题目给出的$∠ ADE = ∠ CBF$，此时在$△ ADE$和$△ CBF$中，有两角及其夹边对应相等，满足ASA全等判定条件，证明全等后即可得到对应边$AE=CF$。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD=BC$，$AD// BC$，
∴ $∠ DAE=∠ BCF$。
在$△ ADE$与$△ CBF$中，
$\begin{cases}∠ ADE=∠ CBF \\AD=BC \\∠ DAE=∠ BCF\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ CBF$（ASA），
∴ $AE=CF$。
【答案】
$AE = CF$得证。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定（ASA），全等三角形的性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质得到证明三角形全等所需的边和角的条件，进而通过全等三角形的性质得出对应边相等。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在 $AB$，$CD$ 的延长线上，$BE = DF$，连接 $EF$，分别交 $BC$，$AD$ 于点 $G$，$H$. 求证：$EG = FH$.
答案
12.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB//CD，∠ABC=∠CDA.
∴ ∠EBG=∠FDH，∠E=∠F. 在△BEG 与△DFH 中，{∠E=∠F，BE=DF，∠EBG=∠FDH，}
∴ △BEG≌△DFH（ASA），
∴ EG=FH
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB//CD，∠ABC=∠CDA.
∴ ∠EBG=∠FDH，∠E=∠F. 在△BEG 与△DFH 中，{∠E=∠F，BE=DF，∠EBG=∠FDH，}
∴ △BEG≌△DFH（ASA），
∴ EG=FH
解析
【分析】
要证明$EG = FH$，可通过证明线段所在的三角形全等完成。首先根据平行四边形的性质，得到$AB// CD$、$∠ ABC=∠ CDA$，进而推出$∠ E=∠ F$、$∠ EBG=∠ FDH$，再结合已知条件$BE=DF$，利用ASA判定定理证明$△ BEG≌△ DFH$，最后根据全等三角形的性质得出$EG=FH$。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$∠ ABC=∠ CDA$，
∴ $∠ EBG=∠ FDH$（等角的补角相等），$∠ E=∠ F$（两直线平行，内错角相等），
在$△ BEG$和$△ DFH$中，
$\begin{cases}∠ E=∠ F \\BE=DF \\∠ EBG=∠ FDH\end{cases}$
∴ $△ BEG≌△ DFH$（ASA），
∴ $EG=FH$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$EG = FH$得证
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定（ASA），全等三角形的性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与全等三角形的综合应用，证明线段相等时，构造并证明全等三角形是常用方法，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.7
要证明$EG = FH$，可通过证明线段所在的三角形全等完成。首先根据平行四边形的性质，得到$AB// CD$、$∠ ABC=∠ CDA$，进而推出$∠ E=∠ F$、$∠ EBG=∠ FDH$，再结合已知条件$BE=DF$，利用ASA判定定理证明$△ BEG≌△ DFH$，最后根据全等三角形的性质得出$EG=FH$。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$∠ ABC=∠ CDA$，
∴ $∠ EBG=∠ FDH$（等角的补角相等），$∠ E=∠ F$（两直线平行，内错角相等），
在$△ BEG$和$△ DFH$中，
$\begin{cases}∠ E=∠ F \\BE=DF \\∠ EBG=∠ FDH\end{cases}$
∴ $△ BEG≌△ DFH$（ASA），
∴ $EG=FH$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$EG = FH$得证
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定（ASA），全等三角形的性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与全等三角形的综合应用，证明线段相等时，构造并证明全等三角形是常用方法，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在 $□ ABCD$ 内有一点 $E$，且 $∠ CBE = ∠ CDE = 90^{\circ}$.
（1）请在下面三个结论中，选出一个正确的结论并证明：① $∠ BED = 2∠ ABE$，② $∠ BED - ∠ ABE = 90^{\circ}$，③ $∠ BED - ∠ CBD = 90^{\circ}$.
（2）若 $BD$ 平分 $∠ CDE$，求证：$BC = BE$.
（1）请在下面三个结论中，选出一个正确的结论并证明：① $∠ BED = 2∠ ABE$，② $∠ BED - ∠ ABE = 90^{\circ}$，③ $∠ BED - ∠ CBD = 90^{\circ}$.
（2）若 $BD$ 平分 $∠ CDE$，求证：$BC = BE$.
答案
13. （1）正确的结论为② ∠BED−∠ABE=90°. 证明如下：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB//DC.
∴ ∠C+∠ABC=180°.
∵ ∠CBE=∠CDE=90°，
∴ ∠BED+∠C=180°.
∴ ∠BED=∠ABC.
∴ ∠BED−∠ABE=∠ABC−∠ABE=∠CBE=90°
（2）如图，在 DC 上截取 DF=DE，∵ BD 平分∠CDE，
∴ ∠BDE=∠BDF. 在△BDE 和△BDF 中，{DE=DF，∠BDE=∠BDF，BD=BD，}
∴ △BDE≌△BDF（SAS）.
∴ BE=BF，∠BED=∠BFD. 由（1）知∠BED+∠C=180°，∠BFD+∠BFC=180°.
∴ ∠BFC=∠C.
∴ BF=BC，
∴ BC=BE
解析
【分析】
（1）首先根据平行四边形的性质得到$AB// DC$，推出$∠C+∠ABC=180°$，再结合四边形$BCDE$的内角和，得出$∠BED+∠C=180°$，从而得到$∠BED=∠ABC$，再结合$∠ABC=∠ABE+90°$，即可推导出结论②成立；
（2）通过在$DC$上截取$DF=DE$，利用角平分线的性质得到$∠BDE=∠BDF$，再用$\mathrm{SAS}$证明$△ BDE≌△ BDF$，得到$BE=BF$和$∠BED=∠BFD$，结合（1）的结论和补角的性质推出$∠BFC=∠C$，进而得到$BF=BC$，最终证明$BC=BE$。
【解析】
（1）选择结论② $\boldsymbol{∠ BED - ∠ ABE = 90°}$，证明如下：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB// DC$，
∴ $∠C+∠ABC=180°$。
∵ $∠CBE=∠CDE=90°$，在四边形 $BCDE$ 中，$∠CBE+∠CDE+∠C+∠BED=360°$，
∴ $90°+90°+∠C+∠BED=360°$，即 $∠BED+∠C=180°$。
∴ $∠BED=∠ABC$。
又
∵ $∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠ABE+90°$，
∴ $∠BED=∠ABE+90°$，
∴ $∠BED - ∠ABE=90°$。
（2）证明：
在 $DC$ 上截取 $DF=DE$，
∵ $BD$ 平分 $∠CDE$，$∠CDE=90°$，
∴ $∠BDE=∠BDF=45°$。
在 $△ BDE$ 和 $△ BDF$ 中，
$\begin{cases}DE=DF \\∠BDE=∠BDF \\BD=BD\end{cases}$
∴ $△ BDE≌△ BDF$（$\mathrm{SAS}$），
∴ $BE=BF$，$∠BED=∠BFD$。
由（1）知 $∠BED+∠C=180°$，
又
∵ $∠BFD+∠BFC=180°$，
∴ $∠BFC=∠C$，
∴ $BF=BC$，
∴ $BC=BE$。
【答案】
（1）正确结论为②，证明见上述解析；
（2）证明见上述解析。
【知识点】
平行四边形性质，全等三角形判定与性质，等角对等边
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，解题关键是灵活运用平行四边形的角的性质和全等三角形的判定定理，通过构造全等三角形将线段进行转化。
【难度系数】
0.6
（1）首先根据平行四边形的性质得到$AB// DC$，推出$∠C+∠ABC=180°$，再结合四边形$BCDE$的内角和，得出$∠BED+∠C=180°$，从而得到$∠BED=∠ABC$，再结合$∠ABC=∠ABE+90°$，即可推导出结论②成立；
（2）通过在$DC$上截取$DF=DE$，利用角平分线的性质得到$∠BDE=∠BDF$，再用$\mathrm{SAS}$证明$△ BDE≌△ BDF$，得到$BE=BF$和$∠BED=∠BFD$，结合（1）的结论和补角的性质推出$∠BFC=∠C$，进而得到$BF=BC$，最终证明$BC=BE$。
【解析】
（1）选择结论② $\boldsymbol{∠ BED - ∠ ABE = 90°}$，证明如下：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB// DC$，
∴ $∠C+∠ABC=180°$。
∵ $∠CBE=∠CDE=90°$，在四边形 $BCDE$ 中，$∠CBE+∠CDE+∠C+∠BED=360°$，
∴ $90°+90°+∠C+∠BED=360°$，即 $∠BED+∠C=180°$。
∴ $∠BED=∠ABC$。
又
∵ $∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠ABE+90°$，
∴ $∠BED=∠ABE+90°$，
∴ $∠BED - ∠ABE=90°$。
（2）证明：
在 $DC$ 上截取 $DF=DE$，
∵ $BD$ 平分 $∠CDE$，$∠CDE=90°$，
∴ $∠BDE=∠BDF=45°$。
在 $△ BDE$ 和 $△ BDF$ 中，
$\begin{cases}DE=DF \\∠BDE=∠BDF \\BD=BD\end{cases}$
∴ $△ BDE≌△ BDF$（$\mathrm{SAS}$），
∴ $BE=BF$，$∠BED=∠BFD$。
由（1）知 $∠BED+∠C=180°$，
又
∵ $∠BFD+∠BFC=180°$，
∴ $∠BFC=∠C$，
∴ $BF=BC$，
∴ $BC=BE$。
【答案】
（1）正确结论为②，证明见上述解析；
（2）证明见上述解析。
【知识点】
平行四边形性质，全等三角形判定与性质，等角对等边
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，解题关键是灵活运用平行四边形的角的性质和全等三角形的判定定理，通过构造全等三角形将线段进行转化。
【难度系数】
0.6
