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课前预习
1. 三元一次方程组的概念
含有个未知数，且含有未知数的式子都是，含有未知数的项的次数都是，一共有个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组。
2. 解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加减”进行消元，把“”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解方程组，进而再转化为解方程。即
课堂探究
探究点1 三元一次方程组的概念
1. 三元一次方程组的概念
含有个未知数，且含有未知数的式子都是，含有未知数的项的次数都是，一共有个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组。
2. 解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加减”进行消元，把“”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解方程组，进而再转化为解方程。即
课堂探究
探究点1 三元一次方程组的概念
答案
1. 三；整式；$1$；三
2. 三元；二元一次；一元一次
2. 三元；二元一次；一元一次
【例1】下列方程组是三元一次方程组的是()。
A.$\begin{cases}x^{2}-y = 1,\\y + z = 0,\\xz = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{1}{x}+y = 1,\\\dfrac{1}{y}+z = 2,\\\dfrac{1}{z}+x = 6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a + b + c + d = 1,\\a - c = 2,\\b - d = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}m + n = 18,\\n + t = 12,\\t + m = 0\end{cases}$
A.$\begin{cases}x^{2}-y = 1,\\y + z = 0,\\xz = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{1}{x}+y = 1,\\\dfrac{1}{y}+z = 2,\\\dfrac{1}{z}+x = 6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a + b + c + d = 1,\\a - c = 2,\\b - d = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}m + n = 18,\\n + t = 12,\\t + m = 0\end{cases}$
答案
D
解析
三元一次方程组需要满足以下条件：含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个或多个方程组成。
A选项：第一个方程中$x^2$次数为2，第三个方程$xz$次数为2，不满足次数为1的条件，所以不是三元一次方程组。
B选项：方程中存在$\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$，不是整式方程，所以不是三元一次方程组。
C选项：方程组中含有$a,b,c,d$四个未知数，不满足三个未知数的条件，所以不是三元一次方程组。
D选项：方程组中含有$m,n,t$三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，满足三元一次方程组的条件。
A选项：第一个方程中$x^2$次数为2，第三个方程$xz$次数为2，不满足次数为1的条件，所以不是三元一次方程组。
B选项：方程中存在$\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$，不是整式方程，所以不是三元一次方程组。
C选项：方程组中含有$a,b,c,d$四个未知数，不满足三个未知数的条件，所以不是三元一次方程组。
D选项：方程组中含有$m,n,t$三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，满足三元一次方程组的条件。
【变式1】写一个三元一次方程组：。
答案
$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$（答案不唯一，符合三元一次方程组定义即可）
解析
根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程。可写出如下方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 3 \\x + 2y - z = 2\end{cases}$
$\begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 3 \\x + 2y - z = 2\end{cases}$
【例2】解方程组$\begin{cases}a + b + c = 0,①\\4a + 2b + c = 3,②\\9a - 3b + c = 8.③\end{cases}$
答案
解：
②-①，得：$3a + b = 3$，记为④
③-①，得：$8a - 4b = 8$，化简为$2a - b = 2$，记为⑤
④+⑤，得：$5a = 5$，解得$a = 1$
将$a = 1$代入④，得：$3×1 + b = 3$，解得$b = 0$
将$a = 1$，$b = 0$代入①，得：$1 + 0 + c = 0$，解得$c = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases}a=1\\b=0\\c=-1\end{cases}$
②-①，得：$3a + b = 3$，记为④
③-①，得：$8a - 4b = 8$，化简为$2a - b = 2$，记为⑤
④+⑤，得：$5a = 5$，解得$a = 1$
将$a = 1$代入④，得：$3×1 + b = 3$，解得$b = 0$
将$a = 1$，$b = 0$代入①，得：$1 + 0 + c = 0$，解得$c = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases}a=1\\b=0\\c=-1\end{cases}$
【变式2】解方程组$\begin{cases}3x - y + 2z = 3,\\2x + y - 5z = 11,\\7x + y - 5z = 1,\end{cases}$若要使运算简便，消元的方法应选取( )。
A.先消去 $x$
B.先消去 $y$
C.先消去 $z$
D.以上说法都不对
A.先消去 $x$
B.先消去 $y$
C.先消去 $z$
D.以上说法都不对
答案
B
解析
观察方程组，三个方程中y的系数分别为-1、1、1，系数互为相反数或相同，可直接相加或相减消去y，运算简便。
【变式3】已知方程组$\begin{cases}x + y = 2,\\y + z = -1,\\z + x = 3,\end{cases}$则 $x + y + z$的值是 ______ 。
答案
$2$
解析
将方程组中的三个方程相加，得：
$(x+y)+(y+z)+(z+x)=2+(-1)+3$，
即$2(x+y+z)=4$，
所以$x+y+z=2$。
$(x+y)+(y+z)+(z+x)=2+(-1)+3$，
即$2(x+y+z)=4$，
所以$x+y+z=2$。
