1. 下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是()

A.$ y^{2}-49x^{2} $
B.$ -(\dfrac{1}{49}+x^{4}) $
C.$ \dfrac{1}{4}(p+q)^{2}-9 $
D.$ -m^{4}+n^{2} $

B

平方差公式为$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，能用平方差公式因式分解的式子需为两项式且两项都能写成平方的形式，符号相反。
选项A：$y^{2}-49x^{2}=y^{2}-(7x)^{2}$，符合平方差公式形式。
选项B：$-(\frac{1}{49}+x^{4})=-((\frac{1}{7})^{2}+(x^{2})^{2})$，两项符号相同，不符合平方差公式形式。
选项C：$\frac{1}{4}(p + q)^{2}-9=(\frac{1}{2}(p + q))^{2}-3^{2}$，符合平方差公式形式。
选项D：$-m^{4}+n^{2}=n^{2}-m^{4}=n^{2}-(m^{2})^{2}$，符合平方差公式形式。

2. 任意两个奇数的平方差总能()

A.被 3 整除
B.被 5 整除
C.被 6 整除
D.被 8 整除

D

设两个奇数分别为$2m + 1$和$2n + 1$（$m$，$n$为整数），则它们的平方差为$(2m + 1)^{2}-(2n + 1)^{2}$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$可得：
$(2m + 1)^{2}-(2n + 1)^{2}=[(2m + 1)+(2n + 1)][(2m + 1)-(2n + 1)]=(2m + 2n + 2)(2m - 2n)=4(m + n + 1)(m - n)$
当$m$，$n$要么都是奇数，要么都是偶数时，$m - n$是偶数，设$m - n = 2k$（$k$为整数），则原式$ = 8(m + n + 1)k$；
当$m$，$n$一个为奇数，一个为偶数时，$m + n + 1$是偶数，设$m + n + 1 = 2k$（$k$为整数），则原式$ = 8k(m - n)$。
所以任意两个奇数的平方差总能被$8$整除。

3. 因式分解：$ 4m^{2}-4n^{2}= $。

$4(m + n)(m - n)$

首先，观察原式$4m^{2} - 4n^{2}$，可以发现两项都含有公因数$4$，因此先提取公因数：$4m^{2} - 4n^{2} = 4(m^{2} - n^{2})$，
接下来，观察括号内的$m^{2} - n^{2}$，这是一个平方差的形式，可以利用平方差公式$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$进行因式分解。
将$m$和$n$分别代入$a$和$b$，得到：$m^{2} - n^{2} = (m + n)(m - n)$，
最后，将因式分解的结果代入到原式中，得到：$4m^{2} - 4n^{2} = 4(m + n)(m - n)$。

4. 若 $ a+b=1 $，则 $ a^{2}-b^{2}+2b $ 的值为。

（题目已给出具体值，按要求填答案区域内容对应的格式）1（题目非选择则填具体值不填选项）。

首先由题目条件$a + b = 1$，根据平方差公式，有$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$。
将$a + b = 1$代入上式，得到$a^{2} - b^{2} = 1 · (a - b) = a - b$。
然后将其代入$a^{2} - b^{2} + 2b$，得到$a^{2} - b^{2} + 2b = (a - b) + 2b = a + b$。
最后，由$a + b = 1$，得出$a^{2} - b^{2} + 2b = 1$。

5. 已知 $ x=\sqrt{5}+\sqrt{3} $，$ y=\sqrt{5}-\sqrt{3} $，则 $ x^{2}-y^{2}= $。

$4\sqrt{15}$

因为$x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$，$y = \sqrt{5} - \sqrt{3}$，所以$x + y = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{5}$，$x - y = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$。根据平方差公式$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，可得$x^2 - y^2 = 2\sqrt{5} × 2\sqrt{3} = 4\sqrt{15}$。

6. 把下列各式因式分解：
(1) $ 16x^{2}-\dfrac{1}{9}y^{2} $；
(2) $ 49x^{2}-(5x-2)^{2} $；
(3) $ (3x+2y)^{2}-(2x+3y)^{2} $。

(1)
解：
原式 $16x^{2} - \frac{1}{9}y^{2}$
= $(4x)^{2} - (\frac{1}{3}y)^{2}$
= $(4x + \frac{1}{3}y)(4x - \frac{1}{3}y)$
(2)
解：
原式 $49x^{2} - (5x - 2)^{2}$
= $(7x)^{2} - (5x - 2)^{2}$
= $[(7x) + (5x - 2)][(7x) - (5x - 2)]$
= $(12x - 2)(2x + 2)$
= $4(6x - 1)(x + 1)$
(3)
解：
原式 $(3x + 2y)^{2} - (2x + 3y)^{2}$
= $[(3x + 2y) + (2x + 3y)][(3x + 2y) - (2x + 3y)]$
= $(5x + 5y)(x - y)$
= $5(x + y)(x - y)$

7. 提升题 阅读下列材料：
因式分解：$ 4x-16x^{3} $。
小云的做法：
原式 $ =16x^{3}-4x $ …………①
$ =4x(4x^{2}-1) $ …………②
$ =4x(2x-1)(2x+1) $。 …………③
小朵的做法：
原式 $ =4x(1-4x^{2}) $ …………①
$ =4x(1-4x)(1+4x) $。 …………②
请根据上述材料回答下列问题：
(1) 小云的解题过程从第步开始出现错误，错误的原因是；小朵的解题过程从第步开始出现错误，错误的原因是。
(2) 请你写出正确的解题过程。

(1)
①；提取负号后，负号丢失；
②；平方差公式用错。
(2)原式$ = 4x(1 - 4x^{2})$
$ = 4x(1 - (2x)^{2})$
$ = 4x(1 - 2x)(1 + 2x)$