要把长正好分完，小正方形边长一定是8的()数；要把宽正好分完，小正方形边长一定是4的()数。所以，小正方形的边长一定是4和8的()数。

因；因；公因

要把长8cm正好分完，小正方形边长必须是8的因数；要把宽4cm正好分完，小正方形边长必须是4的因数。所以要同时整除长和宽，小正方形的边长必须是4和8的公因数。

二、问题解决。
1. 已知有长为16m和12m的两根绳子，打算截成同样长的若干段（长度均是整米数），如果正好截完，一共有几种截法？每段绳子各长几米？至少可以截几段？

先求 $16$ 和 $12$ 的公因数。
$16$ 的因数有：$1, 2, 4, 8, 16$。
$12$ 的因数有：$1, 2, 3, 4, 6, 12$。
$16$ 和 $12$ 的公因数有：$1, 2, 4$。
每段长$1$米，$16 ÷ 1 = 16$（段），$12 ÷ 1 = 12$（段）。
每段长$2$米，$16 ÷ 2 = 8$（段），$12 ÷ 2 = 6$（段）。
每段长$4$米，$16 ÷ 4 = 4$（段），$12 ÷ 4 = 3$（段）。
一共有$3$种截法，每段绳子长分别为$1$米，$2$米，$4$米。
$16 + 12 = 28$（米），$28 ÷ 4 = 7 + 3（段（取两种绳子截完段数之和的最小情况中的最大公因数对应的段数和） （实际是分别截后段数相加，这里4米时总段数最少）$
至少可以截$4 + 3 = 7$（段）。
综上，一共有$3$种截法，每段绳子长分别为$1$米，$2$米，$4$米；至少可以截$7$段。

2. 有65个苹果、98颗奶糖，平均分给班里的学生，结果苹果还剩1个，奶糖还剩2颗。请问班里最多有多少名学生？

1. 分出去的苹果数：65 - 1 = 64（个）
2. 分出去的奶糖数：98 - 2 = 96（颗）
3. 求64和96的最大公因数：
64分解质因数：64 = 2×2×2×2×2×2
96分解质因数：96 = 2×2×2×2×2×3
公有质因数为2×2×2×2×2 = 32
4. 结论：班里最多有32名学生。
32

3. 有一块长40cm、宽24cm的布料，要把它裁剪成边长是整厘米数的同样的正方形且没有剩余，可以选择边长是多少厘米的正方形？如果要求正方形的块数最少，边长是多少厘米？

答题卡答：
因为布料长40cm、宽24cm，裁成同样大小的正方形且无剩余，则正方形边长是40和24的公因数。
$40 = 1×40 = 2×20 = 4×10 = 5×8$，40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40；
$24 = 1×24 = 2×12 = 3×8 = 4×6$，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；
40和24的公因数有1、2、4、8，所以可以选择边长是1cm、2cm、4cm、8cm的正方形。
要求正方形块数最少，则正方形边长要最大，40和24的最大公因数是8，所以边长是8cm。
综上，可以选择边长是1cm、2cm、4cm、8cm的正方形；如果正方形块数最少，边长是8cm。