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13. 数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化,数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”把复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
(1)【思想应用】已知$m,n$均为正实数,且$m+n=2$,求$\sqrt{m^{2}+1}+\sqrt{n^{2}+4}$的最小值.通过分析,小明想到了利用下面的构图法解决此问题:
如图,$AB=2,AC=1,BD=2,AC⊥ AB,BD⊥ AB$,点$E$是线段$AB$上的动点,且不与端点重合,连接$CE,DE$,设$AE=m,BE=n$.
①用含$m$的代数式表示$CE=$,用含$n$的代数式表示$DE=$;
②据此可知$\sqrt{m^{2}+1}+\sqrt{n^{2}+4}$的最小值为.
(2)【类比应用】根据上述方法,代数式$\sqrt{x^{2}+25}+\sqrt{(x-16)^{2}+49}$的最小值是.
(3)【拓展应用】已知$a,b,c$为正数,且$a+b+c=1$,试运用构图法,求出$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}$的最小值.
(1)【思想应用】已知$m,n$均为正实数,且$m+n=2$,求$\sqrt{m^{2}+1}+\sqrt{n^{2}+4}$的最小值.通过分析,小明想到了利用下面的构图法解决此问题:
如图,$AB=2,AC=1,BD=2,AC⊥ AB,BD⊥ AB$,点$E$是线段$AB$上的动点,且不与端点重合,连接$CE,DE$,设$AE=m,BE=n$.
①用含$m$的代数式表示$CE=$,用含$n$的代数式表示$DE=$;
②据此可知$\sqrt{m^{2}+1}+\sqrt{n^{2}+4}$的最小值为.
(2)【类比应用】根据上述方法,代数式$\sqrt{x^{2}+25}+\sqrt{(x-16)^{2}+49}$的最小值是.
(3)【拓展应用】已知$a,b,c$为正数,且$a+b+c=1$,试运用构图法,求出$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}$的最小值.
答案
13. (1)①$\sqrt{m^{2}+1}$,$\sqrt{n^{2}+4}$;②$\sqrt{13}$ (2)$20$ (3)$\sqrt{2}$
