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10. (★)下列计算正确的是 【 】
A.$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 3$
D.$3 + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
A.$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 3$
D.$3 + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
答案
A
解析
A 选项：先将$\sqrt{12}$化简为$2\sqrt{3}$，则$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$，该选项计算正确。
B 选项：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接相加，即$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，该选项计算错误。
C 选项：$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=(3 - 1)\sqrt{5}=2\sqrt{5}≠3$，该选项计算错误。
D 选项：$3$与$2\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能直接相加，即$3 + 2\sqrt{2}≠5\sqrt{2}$，该选项计算错误。
B 选项：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接相加，即$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，该选项计算错误。
C 选项：$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=(3 - 1)\sqrt{5}=2\sqrt{5}≠3$，该选项计算错误。
D 选项：$3$与$2\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能直接相加，即$3 + 2\sqrt{2}≠5\sqrt{2}$，该选项计算错误。
11. (★★)计算$\vert 2 - \sqrt{5}\vert + \vert 4 - \sqrt{5}\vert$的值是 【 】
A.-2
B.2
C.$2\sqrt{5} - 6$
D.$6 - 2\sqrt{5}$
A.-2
B.2
C.$2\sqrt{5} - 6$
D.$6 - 2\sqrt{5}$
答案
B
解析
首先比较$2$与$\sqrt{5}$的大小，因为$2=\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，所以$\vert 2 - \sqrt{5}\vert=\sqrt{5}-2$；
再比较$4$与$\sqrt{5}$的大小，因为$4 = \sqrt{16}＞\sqrt{5}$，所以$\vert 4 - \sqrt{5}\vert=4 - \sqrt{5}$。
则$\vert 2 - \sqrt{5}\vert + \vert 4 - \sqrt{5}\vert=\sqrt{5}-2 + 4 - \sqrt{5}=2$。
再比较$4$与$\sqrt{5}$的大小，因为$4 = \sqrt{16}＞\sqrt{5}$，所以$\vert 4 - \sqrt{5}\vert=4 - \sqrt{5}$。
则$\vert 2 - \sqrt{5}\vert + \vert 4 - \sqrt{5}\vert=\sqrt{5}-2 + 4 - \sqrt{5}=2$。
12. (★★)有下列二次根式：①$\sqrt{12}$，②$\sqrt{2^{2}}$，③$\sqrt{\frac{2}{3}}$，④$\sqrt{27}$。其中化简后能与$\sqrt{3}$合并的是 【 】
A.①和②
B.②和③
C.①和④
D.③和④
A.①和②
B.②和③
C.①和④
D.③和④
答案
C
解析
先将各根式化简，再判断是否与$\sqrt{3}$为同类二次根式：
①$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，可以合并。
②$\sqrt{2^{2}} = 2$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并。
③$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并。
④$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，可以合并。
所以化简后能与$\sqrt{3}$合并的是①和④。
①$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，可以合并。
②$\sqrt{2^{2}} = 2$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并。
③$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并。
④$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，可以合并。
所以化简后能与$\sqrt{3}$合并的是①和④。
13. (★★)若$a$，$b$均为有理数，且$\sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{\frac{1}{8}} = a + b\sqrt{2}$，则$a =$，$b =$。
答案
0，$\frac{21}{4}$
解析
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$，原式$=2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} = (2 + 3 + \frac{1}{4})\sqrt{2} = \frac{21}{4}\sqrt{2}$，则$a = 0$，$b = \frac{21}{4}$。
14. (★★)一个等腰三角形的两边长分别为$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$，则这个三角形的周长是。
答案
情况一：腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为$3\sqrt{2}$。
三边长分别为$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}$。
验证三边关系：$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，$4\sqrt{3} ＞ 3\sqrt{2}$（$(4\sqrt{3})^2=48$，$(3\sqrt{2})^2=18$，$48＞18$），满足三角形三边关系。
周长：$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$。
情况二：腰长为$3\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$。
三边长分别为$3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$。
验证三边关系：$3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$，$6\sqrt{2} ＞ 2\sqrt{3}$（$(6\sqrt{2})^2=72$，$(2\sqrt{3})^2=12$，$72＞12$），满足三角形三边关系。
周长：$3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$。
$4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$或$6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
三边长分别为$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}$。
验证三边关系：$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，$4\sqrt{3} ＞ 3\sqrt{2}$（$(4\sqrt{3})^2=48$，$(3\sqrt{2})^2=18$，$48＞18$），满足三角形三边关系。
周长：$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$。
情况二：腰长为$3\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$。
三边长分别为$3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$。
验证三边关系：$3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$，$6\sqrt{2} ＞ 2\sqrt{3}$（$(6\sqrt{2})^2=72$，$(2\sqrt{3})^2=12$，$72＞12$），满足三角形三边关系。
周长：$3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$。
$4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$或$6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
15. (★★)已知$a = 2$，$b = 3$，求代数式$\sqrt{a^{3}b} - \sqrt{ab} + \sqrt{a^{3}b^{3}}$的值。
答案
$\because a = 2$，$b = 3$，
$\therefore a＞0$，$b＞0$，
$\therefore \sqrt{a^{3}b} - \sqrt{ab} + \sqrt{a^{3}b^{3}}$
$=a\sqrt{ab} - \sqrt{ab} + ab\sqrt{ab}$
$=(a - 1 + ab)\sqrt{ab}$
$=(2 - 1 + 2×3)\sqrt{2×3}$
$=(1 + 6)\sqrt{6}$
$= 7\sqrt{6}$
$\therefore a＞0$，$b＞0$，
$\therefore \sqrt{a^{3}b} - \sqrt{ab} + \sqrt{a^{3}b^{3}}$
$=a\sqrt{ab} - \sqrt{ab} + ab\sqrt{ab}$
$=(a - 1 + ab)\sqrt{ab}$
$=(2 - 1 + 2×3)\sqrt{2×3}$
$=(1 + 6)\sqrt{6}$
$= 7\sqrt{6}$
16. (★★)计算：
(1) $2\sqrt{0.5} + \sqrt{18} - \frac{\sqrt{8}}{2}$；
(2) $2\sqrt{12} - 4\sqrt{\frac{1}{27}} + 3\sqrt{48}$；
(3) $(\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{8}}) - (2\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{18})$；
(4) $\frac{3}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \sqrt{27})$。
(1) $2\sqrt{0.5} + \sqrt{18} - \frac{\sqrt{8}}{2}$；
(2) $2\sqrt{12} - 4\sqrt{\frac{1}{27}} + 3\sqrt{48}$；
(3) $(\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{8}}) - (2\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{18})$；
(4) $\frac{3}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \sqrt{27})$。
答案
(1) $2\sqrt{0.5} + \sqrt{18} - \frac{\sqrt{8}}{2}$
$=2×\frac{\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2}$
$=\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
(2) $2\sqrt{12} - 4\sqrt{\frac{1}{27}} + 3\sqrt{48}$
$=2×2\sqrt{3} - 4×\frac{\sqrt{3}}{9} + 3×4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{9} + 12\sqrt{3}$
$=\frac{36\sqrt{3}}{9} - \frac{4\sqrt{3}}{9} + \frac{108\sqrt{3}}{9}$
$=\frac{140\sqrt{3}}{9}$
(3) $(\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{8}}) - (2\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{18})$
$=2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \sqrt{2} - 3\sqrt{2}$
$=(2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 3\sqrt{2}) - \frac{\sqrt{2}}{4}$
$=-2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}$
$=-\frac{9\sqrt{2}}{4}$
(4) $\frac{3}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \sqrt{27})$
$=\frac{3}{4}\sqrt{2} + \frac{3}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{3}$
$=(\frac{3}{4}\sqrt{2} - \frac{2}{4}\sqrt{2}) + (\frac{3}{4}\sqrt{3} - \frac{6}{4}\sqrt{3})$
$=\frac{1}{4}\sqrt{2} - \frac{3}{4}\sqrt{3}$
$=\frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{4}$
$=2×\frac{\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2}$
$=\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
(2) $2\sqrt{12} - 4\sqrt{\frac{1}{27}} + 3\sqrt{48}$
$=2×2\sqrt{3} - 4×\frac{\sqrt{3}}{9} + 3×4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{9} + 12\sqrt{3}$
$=\frac{36\sqrt{3}}{9} - \frac{4\sqrt{3}}{9} + \frac{108\sqrt{3}}{9}$
$=\frac{140\sqrt{3}}{9}$
(3) $(\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{8}}) - (2\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{18})$
$=2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \sqrt{2} - 3\sqrt{2}$
$=(2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 3\sqrt{2}) - \frac{\sqrt{2}}{4}$
$=-2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}$
$=-\frac{9\sqrt{2}}{4}$
(4) $\frac{3}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \sqrt{27})$
$=\frac{3}{4}\sqrt{2} + \frac{3}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{3}$
$=(\frac{3}{4}\sqrt{2} - \frac{2}{4}\sqrt{2}) + (\frac{3}{4}\sqrt{3} - \frac{6}{4}\sqrt{3})$
$=\frac{1}{4}\sqrt{2} - \frac{3}{4}\sqrt{3}$
$=\frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{4}$
17. (★★★)若$a$，$b$都是正整数，且$a ＜ b$，$\sqrt{a}$与$\sqrt{b}$是可以合并的二次根式，是否存在$a$，$b$，使$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{75}$？若存在，请求出$a$，$b$的值；若不存在，请说明理由。
答案
存在。
∵√a与√b是可以合并的二次根式，∴设√a=m√3，√b=n√3（m，n为正整数，m＜n）。
√75=5√3，∴√a+√b=(m+n)√3=5√3，得m+n=5。
∵m，n为正整数且m＜n，∴有以下两组解：
1. m=1，n=4时，a=(1√3)²=3，b=(4√3)²=48；
2. m=2，n=3时，a=(2√3)²=12，b=(3√3)²=27。
综上，a=3，b=48或a=12，b=27。
∵√a与√b是可以合并的二次根式，∴设√a=m√3，√b=n√3（m，n为正整数，m＜n）。
√75=5√3，∴√a+√b=(m+n)√3=5√3，得m+n=5。
∵m，n为正整数且m＜n，∴有以下两组解：
1. m=1，n=4时，a=(1√3)²=3，b=(4√3)²=48；
2. m=2，n=3时，a=(2√3)²=12，b=(3√3)²=27。
综上，a=3，b=48或a=12，b=27。
