6. 如图，直线$MN$分别与直线$AB$，$CD$相交于点$E$，$F$，$∠ MEB$与$∠ CFE$互补，$∠ BEF$的平分线与$∠ DFE$的平分线交于点$P$，与直线$CD$交于$G$，$GH// PF$交$MN$于点$H$.下列说法中错误的是()

A.$AB// CD$
B.$∠ FGE = ∠ FEG$
C.$EG⊥ GH$
D.$∠ EFC = ∠ EGD$

D

1. 判定AB//CD：
已知∠MEB + ∠CFE=180°，又∠MEB + ∠BEF=180°（邻补角），得∠CFE=∠BEF，内错角相等，故AB//CD，A正确。
2. 分析选项B：
EG平分∠BEF，故∠BEG=∠FEG；由AB//CD，内错角相等得∠BEG=∠FGE，故∠FGE=∠FEG，B正确。
3. 分析选项C：
由AB//CD，得∠BEF + ∠DFE=180°；EG平分∠BEF，FP平分∠DFE，故∠FEG + ∠EFP=90°，即∠EPF=90°，PF⊥EG；又GH//PF，故EG⊥GH，C正确。
4. 分析选项D：
由AB//CD，∠EFC + ∠BEF=180°，∠EGD=∠BEG=∠FEG，∠BEF=2∠FEG，故∠EFC + 2∠EGD=180°，则∠EFC≠∠EGD，D错误。

7. 叠放在一起的两张长方形卡片如图所示，则图中相等的角是()

A.$∠ 1$与$∠ 2$
B.$∠ 2$与$∠ 3$
C.$∠ 1$与$∠ 3$
D.$∠ 1$，$∠ 2$与$∠ 3$

D

1. 由长方形对边平行，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠2=∠3；
2. 由长方形内角为90°，∠1与∠3均与同一角互余，根据“同角的余角相等”，得∠1=∠3；
3. 综上，∠1=∠2=∠3。

8. 如图，已知$∠ C = ∠ 3$，$∠ B = ∠ 1$.
（1）找出图形中的平行线.
（2）说明$∠ 2 = ∠ 4$的理由.

解：
（1）
$\because ∠C = ∠3$，
$\therefore AC // DF$（同位角相等，两直线平行）；
$\because ∠B = ∠1$，
$\therefore AB // EF$（同位角相等，两直线平行）。
即图形中的平行线为$AB // EF$，$AC // DF$。
（2）
$\because AB // EF$，
$\therefore ∠4 = ∠F$（两直线平行，内错角相等）；
$\because AC // DF$，
$\therefore ∠2 = ∠F$（两直线平行，同位角相等）；
$\therefore ∠2 = ∠4$（等量代换）。

9. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请你结合如图所示的两个图形，探索这两个角之间的数量关系.
(1)如图1，$AB// EF$，$BC// DE$.$∠ 1$与$∠ 2$的数量关系是.
(2)如图2，$AB// EF$，$BC// DE$.$∠ 1$与$∠ 2$的数量关系是.
(3)根据以上探索，若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的$2$倍少$30°$，则这两个角分别是多少度？
]

(1)
解：
$\because AB// EF$，
$\therefore ∠ 1=∠ FGC$（两直线平行，同位角相等）。
$\because BC// DE$，
$\therefore ∠ 2=∠ FGC$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore \boldsymbol{∠ 1=∠ 2}$。
(2)
解：
$\because AB// EF$，
$\therefore ∠ 1=∠ BGE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BC// DE$，
$\therefore ∠ BGE+∠ 2=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\therefore \boldsymbol{∠ 1+∠ 2=180°}$。
(3)
解：
设其中一个角为$x°$，分两种情况：
① 当两个角相等时：
$x=2x-30$
解得$x=30$
则这两个角均为$30°$。
② 当两个角互补时：
$x+(2x-30)=180$
$3x=210$
解得$x=70$
$2×70-30=110°$
则这两个角分别为$70°$和$110°$。
综上，这两个角分别是$\boldsymbol{30°,30°}$或$\boldsymbol{70°,110°}$。