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四、计算题
12. 如图所示，某独木舟外形可看成一个长方体，它的长为 2 m、宽为 0.5 m、高为 0.15 m，质量为 50 kg，$\rho_{水}=1×10^{3}kg/m^{3}$，g 取 10 N/kg。
[img]
(1)求当独木舟底部距离水面 0.1 m 时，底部受到的压强。
(2)求独木舟空载时受到的浮力。
(3)独木舟能承载的货物的重力最大是多少？
12. 如图所示，某独木舟外形可看成一个长方体，它的长为 2 m、宽为 0.5 m、高为 0.15 m，质量为 50 kg，$\rho_{水}=1×10^{3}kg/m^{3}$，g 取 10 N/kg。
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(1)求当独木舟底部距离水面 0.1 m 时，底部受到的压强。
(2)求独木舟空载时受到的浮力。
(3)独木舟能承载的货物的重力最大是多少？
答案
解：
(1) 根据液体压强公式$p=\rho_{水}gh$，
$ p=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=1000\ \mathrm{Pa}$
(2) 独木舟空载时漂浮，浮力等于重力，
$ F_{浮}=G=mg=50\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=500\ \mathrm{N}$
解：
(3) 独木舟满载时排开水的体积$V_{排}=2\ \mathrm{m}×0.5\ \mathrm{m}×0.15\ \mathrm{m}=0.15\ \mathrm{m}^3$
此时最大浮力$F_{浮最大}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.15\ \mathrm{m}^3=1500\ \mathrm{N}$
能承载的最大货物重力$G_{货}=F_{浮最大}-G=1500\ \mathrm{N}-500\ \mathrm{N}=1000\ \mathrm{N}$
(1) 根据液体压强公式$p=\rho_{水}gh$，
$ p=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=1000\ \mathrm{Pa}$
(2) 独木舟空载时漂浮，浮力等于重力，
$ F_{浮}=G=mg=50\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=500\ \mathrm{N}$
解：
(3) 独木舟满载时排开水的体积$V_{排}=2\ \mathrm{m}×0.5\ \mathrm{m}×0.15\ \mathrm{m}=0.15\ \mathrm{m}^3$
此时最大浮力$F_{浮最大}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.15\ \mathrm{m}^3=1500\ \mathrm{N}$
能承载的最大货物重力$G_{货}=F_{浮最大}-G=1500\ \mathrm{N}-500\ \mathrm{N}=1000\ \mathrm{N}$
解析
【分析】
1. 对于第(1)问，已知水的密度、底部所处的深度，直接利用液体压强公式$p=\rho gh$即可计算底部受到的压强；
2. 对于第(2)问，独木舟空载时漂浮在水面上，根据漂浮条件，漂浮物体受到的浮力等于自身重力，先通过$G=mg$计算独木舟的重力，即可得到空载时的浮力；
3. 对于第(3)问，当独木舟刚好完全浸没在水中时，排开水的体积最大，此时受到的浮力最大，能承载的货物重力也最大。先计算独木舟的体积（即最大排开水的体积），再利用阿基米德原理计算最大浮力，最后用最大浮力减去独木舟自身的重力，即可得到能承载的货物的最大重力。
【解析】
(1) 已知$\rho_{水}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，$h=0.1\ \mathrm{m}$，根据液体压强公式：
$p=\rho_{水}gh=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=1000\ \mathrm{Pa}$
(2) 独木舟空载时漂浮在水面，根据漂浮条件$F_{浮}=G$，先计算独木舟的重力：
$G=mg=50\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=500\ \mathrm{N}$
因此空载时受到的浮力$F_{浮}=500\ \mathrm{N}$
(3) 当独木舟完全浸没时，排开水的最大体积等于独木舟的体积：
$V_{排}=V_{舟}=2\ \mathrm{m}×0.5\ \mathrm{m}×0.15\ \mathrm{m}=0.15\ \mathrm{m}^{3}$
根据阿基米德原理，此时受到的最大浮力：
$F_{浮最大}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.15\ \mathrm{m}^{3}=1500\ \mathrm{N}$
能承载的货物的最大重力：
$G_{货}=F_{浮最大}-G=1500\ \mathrm{N}-500\ \mathrm{N}=1000\ \mathrm{N}$
【答案】
(1) $1000\ \mathrm{Pa}$
(2) $500\ \mathrm{N}$
(3) $1000\ \mathrm{N}$
【知识点】
液体压强计算、漂浮条件应用、阿基米德原理应用
【点评】
本题是力学综合题，综合考查了液体压强公式、漂浮条件和阿基米德原理的应用，解题的关键是理解独木舟最大承载量的物理情景，熟练运用基础公式进行计算，注重对物理基础知识的掌握和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
1. 对于第(1)问，已知水的密度、底部所处的深度，直接利用液体压强公式$p=\rho gh$即可计算底部受到的压强；
2. 对于第(2)问，独木舟空载时漂浮在水面上，根据漂浮条件，漂浮物体受到的浮力等于自身重力，先通过$G=mg$计算独木舟的重力，即可得到空载时的浮力；
3. 对于第(3)问，当独木舟刚好完全浸没在水中时，排开水的体积最大，此时受到的浮力最大，能承载的货物重力也最大。先计算独木舟的体积（即最大排开水的体积），再利用阿基米德原理计算最大浮力，最后用最大浮力减去独木舟自身的重力，即可得到能承载的货物的最大重力。
【解析】
(1) 已知$\rho_{水}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，$h=0.1\ \mathrm{m}$，根据液体压强公式：
$p=\rho_{水}gh=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=1000\ \mathrm{Pa}$
(2) 独木舟空载时漂浮在水面，根据漂浮条件$F_{浮}=G$，先计算独木舟的重力：
$G=mg=50\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=500\ \mathrm{N}$
因此空载时受到的浮力$F_{浮}=500\ \mathrm{N}$
(3) 当独木舟完全浸没时，排开水的最大体积等于独木舟的体积：
$V_{排}=V_{舟}=2\ \mathrm{m}×0.5\ \mathrm{m}×0.15\ \mathrm{m}=0.15\ \mathrm{m}^{3}$
根据阿基米德原理，此时受到的最大浮力：
$F_{浮最大}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.15\ \mathrm{m}^{3}=1500\ \mathrm{N}$
能承载的货物的最大重力：
$G_{货}=F_{浮最大}-G=1500\ \mathrm{N}-500\ \mathrm{N}=1000\ \mathrm{N}$
【答案】
(1) $1000\ \mathrm{Pa}$
(2) $500\ \mathrm{N}$
(3) $1000\ \mathrm{N}$
【知识点】
液体压强计算、漂浮条件应用、阿基米德原理应用
【点评】
本题是力学综合题，综合考查了液体压强公式、漂浮条件和阿基米德原理的应用，解题的关键是理解独木舟最大承载量的物理情景，熟练运用基础公式进行计算，注重对物理基础知识的掌握和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
五、综合能力题
13. 小迪同学利用弹簧测力计、烧杯、水($\rho_{水}=1.0×10^{3}kg/m^{3}$)、未知密度的小石块、咸奶茶和不吸水的细线，巧妙地设计实验，完成了：
①浮力相关内容的复习；
②测量咸奶茶的密度。
请回答下列问题：
(1)要测量小石块浸没在水中时所受的浮力，合理的测量顺序是(选填“甲→乙”或“乙→甲”)。
(2)根据实验数据计算出小石块的密度是$kg/m^{3}$，g 取 10 N/kg。
(3)咸奶茶的密度$\rho_{茶}=$(用$F_{1}$、$F_{2}$、$F_{3}$、$\rho_{水}$表示)。
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13. 小迪同学利用弹簧测力计、烧杯、水($\rho_{水}=1.0×10^{3}kg/m^{3}$)、未知密度的小石块、咸奶茶和不吸水的细线，巧妙地设计实验，完成了：
①浮力相关内容的复习；
②测量咸奶茶的密度。
请回答下列问题：
(1)要测量小石块浸没在水中时所受的浮力，合理的测量顺序是(选填“甲→乙”或“乙→甲”)。
(2)根据实验数据计算出小石块的密度是$kg/m^{3}$，g 取 10 N/kg。
(3)咸奶茶的密度$\rho_{茶}=$(用$F_{1}$、$F_{2}$、$F_{3}$、$\rho_{水}$表示)。
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答案
甲→乙
$2.8×10^{3}$
$\frac{F_{1}-F_{3}}{F_{1}-F_{2}}\rho_{水}$
$2.8×10^{3}$
$\frac{F_{1}-F_{3}}{F_{1}-F_{2}}\rho_{水}$
解析
【分析】
1. 对于问题(1)：若先测石块浸没在水中时的拉力（乙→甲），石块取出后表面沾有水，会导致测得的石块重力偏大，从而使浮力测量误差变大，因此应先测石块重力，再测浸没时的拉力，即合理顺序为甲→乙。
2. 对于问题(2)：先利用称重法求出石块在水中的浮力，再根据阿基米德原理求出石块的体积，结合石块的重力求出质量，最后根据密度公式计算石块密度。
3. 对于问题(3)：先利用称重法求出石块在咸奶茶中的浮力，结合石块体积（由水中的实验数据得出），根据阿基米德原理推导咸奶茶的密度表达式。
【解析】
(1) 测量小石块浸没在水中时所受浮力，为避免石块沾水导致重力测量偏大，应先测石块重力（甲），再测石块浸没在水中时弹簧测力计的示数（乙），故合理顺序是甲→乙。
(2) ① 石块的重力$G=F_{1}=2.8\ \mathrm{N}$，根据$G=mg$，石块的质量$m=\frac{G}{g}=\frac{F_{1}}{g}$；
② 石块浸没在水中时受到的浮力$F_{\mathrm{浮水}}=F_{1}-F_{2}=2.8\ \mathrm{N}-1.8\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{N}$；
③ 由阿基米德原理$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{液}}gV_{\mathrm{排}}$，且石块浸没时$V_{\mathrm{排}}=V_{\mathrm{石}}$，可得石块体积$V_{\mathrm{石}}=\frac{F_{\mathrm{浮水}}}{\rho_{\mathrm{水}}g}=\frac{F_{1}-F_{2}}{\rho_{\mathrm{水}}g}$；
④ 石块的密度$\rho_{\mathrm{石}}=\frac{m}{V_{\mathrm{石}}}=\frac{\frac{F_{1}}{g}}{\frac{F_{1}-F_{2}}{\rho_{\mathrm{水}}g}}=\frac{F_{1}\rho_{\mathrm{水}}}{F_{1}-F_{2}}$，代入数据：
$\rho_{\mathrm{石}}=\frac{2.8\ \mathrm{N} × 1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}{2.8\ \mathrm{N}-1.8\ \mathrm{N}}=2.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
(3) 石块浸没在咸奶茶中时受到的浮力$F_{\mathrm{浮茶}}=F_{1}-F_{3}$，
由阿基米德原理$F_{\mathrm{浮茶}}=\rho_{\mathrm{茶}}gV_{\mathrm{石}}$，且$V_{\mathrm{石}}=\frac{F_{1}-F_{2}}{\rho_{\mathrm{水}}g}$，
代入得：$F_{1}-F_{3}=\rho_{\mathrm{茶}}g × \frac{F_{1}-F_{2}}{\rho_{\mathrm{水}}g}$，
化简后可得咸奶茶的密度：$\rho_{\mathrm{茶}}=\frac{F_{1}-F_{3}}{F_{1}-F_{2}}\rho_{\mathrm{水}}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{甲→乙}$
(2) $\boldsymbol{2.8×10^{3}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{F_{1}-F_{3}}{F_{1}-F_{2}}\rho_{水}}$
【知识点】
称重法测浮力；阿基米德原理；密度公式的应用
【点评】
本题综合考查浮力与密度的测量，核心是利用称重法和阿基米德原理建立等量关系，通过已知量推导未知量，需要学生熟练掌握相关公式的变形与应用，注重实验误差分析和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
1. 对于问题(1)：若先测石块浸没在水中时的拉力（乙→甲），石块取出后表面沾有水，会导致测得的石块重力偏大，从而使浮力测量误差变大，因此应先测石块重力，再测浸没时的拉力，即合理顺序为甲→乙。
2. 对于问题(2)：先利用称重法求出石块在水中的浮力，再根据阿基米德原理求出石块的体积，结合石块的重力求出质量，最后根据密度公式计算石块密度。
3. 对于问题(3)：先利用称重法求出石块在咸奶茶中的浮力，结合石块体积（由水中的实验数据得出），根据阿基米德原理推导咸奶茶的密度表达式。
【解析】
(1) 测量小石块浸没在水中时所受浮力，为避免石块沾水导致重力测量偏大，应先测石块重力（甲），再测石块浸没在水中时弹簧测力计的示数（乙），故合理顺序是甲→乙。
(2) ① 石块的重力$G=F_{1}=2.8\ \mathrm{N}$，根据$G=mg$，石块的质量$m=\frac{G}{g}=\frac{F_{1}}{g}$；
② 石块浸没在水中时受到的浮力$F_{\mathrm{浮水}}=F_{1}-F_{2}=2.8\ \mathrm{N}-1.8\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{N}$；
③ 由阿基米德原理$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{液}}gV_{\mathrm{排}}$，且石块浸没时$V_{\mathrm{排}}=V_{\mathrm{石}}$，可得石块体积$V_{\mathrm{石}}=\frac{F_{\mathrm{浮水}}}{\rho_{\mathrm{水}}g}=\frac{F_{1}-F_{2}}{\rho_{\mathrm{水}}g}$；
④ 石块的密度$\rho_{\mathrm{石}}=\frac{m}{V_{\mathrm{石}}}=\frac{\frac{F_{1}}{g}}{\frac{F_{1}-F_{2}}{\rho_{\mathrm{水}}g}}=\frac{F_{1}\rho_{\mathrm{水}}}{F_{1}-F_{2}}$，代入数据：
$\rho_{\mathrm{石}}=\frac{2.8\ \mathrm{N} × 1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}{2.8\ \mathrm{N}-1.8\ \mathrm{N}}=2.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
(3) 石块浸没在咸奶茶中时受到的浮力$F_{\mathrm{浮茶}}=F_{1}-F_{3}$，
由阿基米德原理$F_{\mathrm{浮茶}}=\rho_{\mathrm{茶}}gV_{\mathrm{石}}$，且$V_{\mathrm{石}}=\frac{F_{1}-F_{2}}{\rho_{\mathrm{水}}g}$，
代入得：$F_{1}-F_{3}=\rho_{\mathrm{茶}}g × \frac{F_{1}-F_{2}}{\rho_{\mathrm{水}}g}$，
化简后可得咸奶茶的密度：$\rho_{\mathrm{茶}}=\frac{F_{1}-F_{3}}{F_{1}-F_{2}}\rho_{\mathrm{水}}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{甲→乙}$
(2) $\boldsymbol{2.8×10^{3}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{F_{1}-F_{3}}{F_{1}-F_{2}}\rho_{水}}$
【知识点】
称重法测浮力；阿基米德原理；密度公式的应用
【点评】
本题综合考查浮力与密度的测量，核心是利用称重法和阿基米德原理建立等量关系，通过已知量推导未知量，需要学生熟练掌握相关公式的变形与应用，注重实验误差分析和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
