1. 下列说法错误的是()

A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.对角线相等的平行四边形是矩形

B

A选项两组对角分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理之一，该说法正确；
B选项对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，只有对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，该说法错误；
C选项对角线相等的菱形，因为菱形本身邻边相等，对角线相等时可推出其一个内角为直角，所以是正方形，该说法正确；
D选项对角线相等的平行四边形是矩形，这是矩形的判定定理之一，该说法正确。

2. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是 $AB$ 边上一点，连接 $OE$。若 $OE=\frac{1}{2}BD$，$∠ BAD=α$，则 $∠ AOE=$ ()

A.$\frac{1}{2}α$
B.$\frac{1}{2}α - 15^{\circ}$
C.$90^{\circ}-\frac{1}{2}α$
D.$90^{\circ}-α$

D

在菱形$ABCD$中，对角线$AC⊥ BD$，$O$为中点，故$BO=\frac{1}{2}BD$。由$OE=\frac{1}{2}BD$得$OE=BO$，$△ OBE$为等腰三角形。
$∠ BAD=α$，菱形对角线平分内角，故$∠ BAO=\frac{α}{2}$，$∠ ABO=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$。
在$△ OBE$中，$∠ OBE=∠ OEB=90°-\frac{α}{2}$，则$∠ BOE=180°-2(90°-\frac{α}{2})=α$。
$\because AC⊥ BD$，$∠ AOB=90°$，$\therefore ∠ AOE=∠ AOB-∠ BOE=90°-α$。

3. 用若干个全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形只有 $1$ 个公共顶点，且两边所夹的锐角均为 $24^{\circ}$，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是()

A.正五边形
B.正六边形
C.正八边形
D.正十边形

D

正五边形每个内角为$(5-2)×180°÷5=108°$。设中间形成的多边形为正$k$边形，其每个内角为$β$。在中间多边形的每个顶点处，两个相邻正五边形的内角与中间多边形的内角之和为$360°$，即$108°+108°+β=360°$，解得$β=144°$。由正$k$边形内角公式$\frac{(k-2)×180°}{k}=144°$，解得$k=10$。

4. 已知，在 $□ ABCD$ 中，$AC = 24$，$BD = 10$，且 $AC⊥ BD$，则 $□ ABCD$ 的周长为。

周长（此处意会填数字，由于原题没选项）为$52$。

由于 $AC⊥BD$，所以 $□ ABCD$是菱形（对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形）。
由于 $AC = 24$，$BD = 10$，
根据菱形对角线性质，$AC$ 和 $BD$互相垂直且平分，
设交点为$O$，
则$AO=\frac{1}{2}AC=12$，$BO=\frac{1}{2}BD=5$，
在直角三角形$AOB$中，利用勾股定理，有：
$AB=\sqrt{AO^{2} + BO^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$，
由于菱形的四条边长度相等，
所以$□ ABCD$的周长为 $4 × 13 = 52$。

5. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$E$ 为 $AB$ 的中点，点 $D$ 在 $BC$ 上，且 $AD = BD$，$AD$，$CE$ 相交于点 $F$。若 $∠ B = 20^{\circ}$，则 $∠ DFE=$。

60

在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠B=20^{\circ}$，则$∠BAC=180^{\circ}-90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$。
$AD=BD$，故$∠BAD=∠B=20^{\circ}$，所以$∠CAD=∠BAC - ∠BAD=70^{\circ}-20^{\circ}=50^{\circ}$。
$E$为$AB$中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，故$CE=AE$，$△AEC$为等腰三角形，$∠ACE=∠BAC=70^{\circ}$。
在$△AFC$中，$∠FAC=50^{\circ}$，$∠FCA=70^{\circ}$，则$∠AFC=180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$。
$AD$与$CE$交于点$F$，$∠AFC$与$∠DFE$为对顶角，故$∠DFE=∠AFC=60^{\circ}$。

6. 提升题 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$E$ 是边 $CD$ 上一点，连接 $AE$，将 $△ ADE$ 沿直线 $AE$ 翻折，得到 $△ AFE$，延长 $EF$ 交 $CB$ 于点 $G$，连接 $AG$，对角线 $BD$ 分别与 $AE$，$AG$ 交于点 $P$，$Q$，连接 $PG$，$PC$。下列结论：① $DE + BG = GE$；② $BQ^{2}+PD^{2}=PQ^{2}$；③ $PC = PG$；④ 若 $BG = 2$，则 $DE=\frac{3}{2}$。其中正确的有(填序号)。

①②③

①由翻折得△ADE≌△AFE，故AD=AF，DE=FE，∠AFE=90°。∵ABCD为正方形，∴AB=AD=AF，∠ABG=∠AFG=90°。在Rt△ABG和Rt△AFG中，AG=AG，AB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=GF。∵GE=GF+FE，∴GE=BG+DE，①正确。
②设∠BAG=α，∠DAE=β，由翻折及全等知α+β=45°，即∠PAQ=45°。将△ABQ绕A顺时针旋转90°得△ADQ'，则AQ=AQ'，BQ=DQ'，∠ADQ'=∠ABQ=45°，∠Q'AQ=90°，故∠Q'AP=45°=∠PAQ。∵AP=AP，∴△APQ≌△APQ'（SAS），∴PQ=PQ'。∵∠ADB=45°，∴∠PDQ'=90°，在Rt△PDQ'中，PD²+DQ'²=PQ'²，即PD²+BQ²=PQ²，②正确。
③建立坐标系，设E(a,4)，得P(4a/(a+4),16/(a+4))，G(4,4(4-a)/(a+4))，C(4,4)。计算PC²=(16/(a+4))²+(4a/(a+4))²，PG²=(16/(a+4))²+(-4a/(a+4))²，故PC=PG，③正确。
④若BG=2，由BG=4(4-a)/(4+a)=2，解得a=4/3，即DE=4/3≠3/2，④错误。

7. 如图，$□ ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，$AE⊥ BD$ 于点 $E$，$CF⊥ BD$ 于点 $F$。求证 $BE = DF$。

证明：
$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB = CD$，$AB// CD$，
$\therefore∠ ABE = ∠ CDF$。
又$\because AE\bot BD$，$CF\bot BD$，
$\therefore∠ AEB = ∠ CFD = 90°$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ CFD,\\∠ ABE = ∠ CDF,\\AB = CD.\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF(AAS)$。
$\therefore BE = DF$。