1. 探索并证明三角形内角和定理.

探索：通过度量不同三角形的三个内角，或把三角形三个内角剪拼，发现其和为180°，猜想三角形内角和为180°。
证明：已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°。
过点A作直线DE//BC。
∵DE//BC，
∴∠B=∠DAB（两直线平行，内错角相等），
∠C=∠EAC（两直线平行，内错角相等）。
∵点D、A、E在同一直线上，
∴∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°（平角定义）。
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换），即∠A+∠B+∠C=180°。
结论：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

2. 利用三角形内角和是 $180^{\circ}$ 推导出关于三角形外角的推论.
实践与探索

已知：△ABC，延长BC至点D，∠ACD是△ABC的外角。
求证：∠ACD=∠A+∠B。
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）。
∵∠ACB+∠ACD=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=∠ACB+∠ACD（等量代换）。
∴∠ACD=∠A+∠B（等式性质）。
结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

例 1 填写下列空格：
已知：如图 12.4.1，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$CA$，$AB$ 上，$DE // BA$，$DF // CA$.
求证：$∠ FDE = ∠ A$.
证明：$\because DE // BA$()，
$\therefore ∠ FDE = ∠ BFD$().
$\because DF // CA$()，
$\therefore ∠ BFD = $().
$\therefore ∠ FDE = ∠ A$.

已知；两直线平行，内错角相等；已知；∠A；两直线平行，同位角相等

例 2 已知 $AB$ 与 $CD$ 交于点 $O$.
(1)如图 12.4.2①，若 $AC // BD$，则 $∠ A + ∠ C$ 与 $∠ B + ∠ D$ 的数量关系为.
(2)如图 12.4.2②，若 $AC$ 不平行 $BD$，(1)中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论.(注：请用三角形内角和定理来证明)

(1) $∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$。
(2) 结论仍然成立。
证明：
在$△ AOC$中，内角和为$180°$，即$∠ A + ∠ AOC + ∠ C = 180°$。
在$△ BOD$中，内角和为$180°$，即$∠ B + ∠ BOD + ∠ D = 180°$。
由于$∠ AOC = ∠ BOD$，
所以$∠ A + ∠ C = 180° - ∠ AOC = 180° - ∠ BOD = ∠ B + ∠ D$。
因此，$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$。

例 3 如图 12.4.3，$CE$ 是 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACD$ 的平分线，且 $CE$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$，
(1)若 $∠ B = 25^{\circ}$，$∠ E = 30^{\circ}$，求 $∠ BAC$ 的度数.
(2)探究 $∠ BAC$，$∠ B$，$∠ E$ 的关系，并说明理由.

训练与提高

(1)
根据三角形外角的性质，在$△ EBC$中，$∠ ECD = ∠ B + ∠ E$。
已知$∠ B = 25^{\circ}$，$∠ E = 30^{\circ}$，所以$∠ ECD=25^{\circ}+30^{\circ}=55^{\circ}$。
因为$CE$是$∠ ACD$的平分线，所以$∠ ACD = 2∠ ECD = 110^{\circ}$。
再根据三角形外角的性质，$∠ BAC=∠ ACD-∠ B$，所以$∠ BAC = 110^{\circ}- 25^{\circ}=85^{\circ}$。
(2)
$∠ BAC=∠ B + 2∠ E$。
理由如下：
在$△ EBC$中，根据三角形外角的性质，$∠ ECD=∠ B+∠ E$。
因为$CE$平分$∠ ACD$，所以$∠ ACD = 2∠ ECD=2(∠ B+∠ E)$。
又因为$∠ BAC$是$△ ABC$的一个内角，$∠ BAC=∠ ACD-∠ B$，把$∠ ACD = 2(∠ B+∠ E)$代入可得：
$∠ BAC = 2(∠ B+∠ E)-∠ B=∠ B + 2∠ E$。
综上，答案依次为：(1)$85^{\circ}$；(2)$∠ BAC=∠ B + 2∠ E$，理由如上述。