例1 如图6.4.5,在△ABC中,点D在边AB上,$AD = 1$,$BD = 2$,$AC = \sqrt { 3 }$.△ACD与△ABC相似吗? 为什么?
图6.4.5

​​解： AB= AD+ BD=3​​
​​所以$\frac {AC}{AD}=\frac {AB}{AC}=\sqrt{3}​​$
​​又∠A=∠A​​
​​所以△ACD∽△ABC​​

例2 如图6.4.6,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,连接DE、BE,若$A E ^ { 2 } = A D · A B$,且$∠ABE = ∠ACB$.
求证:(1)$△ADE \backsim △AEB$;(2)$△BCE \backsim △EBD$.
图6.4.6

​​证明：(1)因为AE²= AD×AB​​
​​所以$\frac {AE}{AB}=\frac {AD}{AE}​​$
​​因为∠BAE=∠EAD​​
​​所以△ADE∽△AEB​​
​​(2)因为△ADE∽△AEB​​
​​所以∠AED=∠ABE​​
​​因为∠ABE=∠ACB ​​
​​所以∠AED=∠ACB​​
​​所以DE//BC​​
​​所以∠DEB=∠EBC​​
​​因为∠ABE=∠ACB ​​
​​所以△BCE∽△EBD​​

1. 在△ABC和△A'B'C'中,$∠B = ∠B'$,$AB = 6$,$BC = 8$,$B'C' = 4$,当$A'B' =$时,$△ABC \backsim △A'B'C'$.

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