4. 如图，在$\triangle A B C$中，点$P$在边$A B$上，连接$C P$，下列条件中，不能判定$\triangle A C P \backsim \triangle A B C$的是()
A. $\angle A C P = \angle B$
B. $\angle A P C = \angle A C B$
C. $A C ^ { 2 } = A P · A B$
D. $\frac { A C } { C P } = \frac { A B } { B C }$
(https://p3-hippo-sign.byteimg.com/tos-cn-i-a9yeduch1e/5c8c8c8c8c8c4c8c9c8c8c8c8c8c8c8c~tplv-ii0cwwkcx9-resize-crop-v1:600:600:737:670:0:0.png?lk3s=f89d68d8&x-expires=2045275247&x-signature=7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d)

D

5. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1)矩形都相似；()
(2)有一角对应相等的两个菱形相似；()
(3)正方形都相似；()
(4)等边三角形都相似；()
(5)如果两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.()

×
√
√
√
√

6. 一个三角形三边之比为$4 : 5 : 6$，与它相似的三角形周长为$30 \mathrm { cm }$，则与它相似的三角形各边长分别为.

$​8\ \mathrm {cm}，$$10\ \mathrm {cm}，$$12\ \mathrm {cm}​$

7. 在比例尺为$1 : 50000$的地图上，一个多边形地区的周长为$90 \mathrm { cm }$，面积为$480 \mathrm { cm } ^ { 2 }$则这个地区的实际周长为$\mathrm { m }$，实际面积为$\mathrm { m } ^ { 2 }$.

$​4.5×{10}^4​$
$​1.2×{10}^8​$

8. 如图，$B D$、$C E$是$\triangle A B C$的两条高，连接$D E$.
求证：（1）$\frac { A E } { A C } = \frac { A D } { A B }$；
（2）$\triangle A E D \backsim \triangle A C B$.
(https://p3-hippo-sign.byteimg.com/tos-cn-i-a9yeduch1e/5c8c8c8c8c8c4c8c9c8c8c8c8c8c8c8c~tplv-ii0cwwkcx9-resize-crop-v1:600:720:737:800:0:0.png?lk3s=f89d68d8&x-expires=2045275247&x-signature=7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d)

​证明： (1)因为BD、CE是△ABC的两条高​
​所以∠AEC=∠ADB=90°​
​因为∠CAE=∠BAD​
​所以△ACE∽△ABD​
​所以$\frac {AE}{AC}=\frac {AD}{AB}​$
​(2)因为$\frac {AE}{AC}=\frac {AD}{AB}，$∠EAD=∠CAB​
​所以△AED∽△ACB
​

9. 已知：如图，矩形$A B C D$的边长$A B = 2, B C = 3$，$P$是边$A D$上的一动点（与点$A$、$D$不重合），$Q$是边$B C$上的任意一点. 连接$A Q$、$D Q$，过点$P$作$P E // D Q$，交$A Q$于点$E$，过点$P$作$P F // A Q$，交$D Q$于点$F$.
（1）求证：$\triangle A P E \backsim \triangle A D Q$.
（2）设$A P$的长为$x$，试求$\triangle P E F$的面积$S$关于$x$的函数表达式，并求当点$P$在何处时，$S$取得最大值.最大值为多少？
(https://p3-hippo-sign.byteimg.com/tos-cn-i-a9yeduch1e/5c8c8c8c8c8c4c8c9c8c8c8c8c8c8c8c~tplv-ii0cwwkcx9-resize-crop-v1:600:850:737:930:0:0.png?lk3s=f89d68d8&x-expires=2045275247&x-signature=7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d)

10. 如图，在正方形$A B C D$中，$P$是$C D$上一动点（与点$C$、$D$不重合），将一块三角尺的直角顶点与点$P$重合，并且使一条直角边始终经过点$B$，另一条直角边所在直线与正方形的边$A D$相交于点$E$.
（1）观察操作结果，哪一个三角形与$\triangle B P C$相似？说明你的理由.
（2）当$P$位于$C D$的中点时，你找到的三角形与$\triangle B P C$的周长之比是多少？
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​证明： (1)因为PE//DQ​
​所以∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD​
​所以△APE∽△ADQ​
​(2)由(1)△APE∽△ADQ​
​同理可得△PDF∽△ADQ​
​相似比分别为$\frac {x}{3}，$$\frac {3-x}{3}​$
​所以面积比分别为$\frac {x²}{9}.\frac {(3-x)²}{9}​$
$​S_{△ADQ} =\frac {1}{2}×2×3=3​$
​所以$S_{△APE}=\frac {x²}{3}，$$S_{△PDF}=\frac {(3-x)²}{3}​$
​所以$S_{平行四边形PEQF}= 2S= 3-\frac {x²}{3}-\frac {(3-x)²}{3}​$
​所以$S= -\frac {1}{3}x²+x​$
$​S= -\frac {1}{3}(x-\frac {3}{2})²+\frac {3}{4}​$
当$x=\frac {3}{2}$即AP的长为$\frac {3}{2}$时， S取得最大值，最大值是$\frac {3}{4}​$
​解： (1)△PED∽△BPC ，理由如下：​
​因为∠BPE=90°， ​
​所以∠BPC+∠DPE= 90°​
​因为四边形ABCD是正方形， ​
​所以∠D=∠C=90°​
​所以∠DPE+∠DEP=90°， ​
​所以∠BPC=∠DEP​
​所以△PED∽△BPC​
​(2)因为P是CD的中点​
​所以$DP= \frac {1}{2}CD​$
​因为四边形ABCD是正方形， ​
​所以BC=CD​
​因为△PED与△BPC的相似比为$\frac {PD}{BC}=\frac {1}{2}​$
​所以△PED与△BPC的周长之比是$\frac {1}{2}​$