7. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠AED=∠B$，$DE=6$，$AB=10$，$AE=8$，则 BC 的长是.

$​\frac {15}{2}​$

8. 如图，$AB// CD// EF$，图中相似的三角形共有().

A.2 对
B.3 对
C.4 对
D.4 对以上

B

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$∠A=36^{\circ }$，CD 是$∠ACB$的平分线.
(1)$\triangle ABC$和$\triangle CBD$相似吗？为什么？
(2)AD、AB、BD 之间有什么关系？为什么？

解$:​(2)AD^2=AB · BD，$​理由如下：
∵​△ABC∽△CBD​
∴$​\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{BD}​$
∴$​BC^2=AB · BD​$
∵​∠CDB=180°-36°-72°=72°​
∴​∠CDB=∠B​
∴​CD=BC​
∵​∠A=∠ACD=36°​
∴​AD=CD=BC​
∴$​AD^2=AB · BD​$

10. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，CD 是斜边 AB 上的高.
(1)试说明$\triangle ABC\backsim \triangle CBD\backsim \triangle ACD$.
(2)由$\triangle ABC\backsim \triangle ACD$，可得$\frac {AB}{AC}=\frac {AC}{AD}$，即 AC 是和的比例中项.
(3)图中还存在哪些有关“比例中项”的结论？请说明理由.

AB
AD
解：​(1)​∵​△ABC​为直角三角形，​
CD​是斜边​AB​上的高
∴​∠ACB=∠ADC=90°​
∵​∠A=∠A​
∴​△ABC∽△ACD​
∵​∠ACB=∠CDB=90°，​​∠B=∠C​
∴​△ABC∽△CBD​
∴​△ABC∽△CBD∽△ACD​
解:​(3)BC​是​BD​和​AB​的比例中项，​
CD​是​AD​和​BD​的比例中项，理由如下：
∵​△ABC∽△CBD​
∴$​\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{BD}​$
∴​BC​是​BD​和​AB​的比例中项
∵​△CBD∽△ACD​
∴$​\frac {BD}{CD}=\frac {CD}{AD}​$
∴​CD​是​AD​和​BD​的比例中项

11. 如图，在$\triangle ABC$中，三个内角的平分线交于点 D，过点 D 作 AD 的垂线分别交 AB、AC 于点 M、N. 试说明：$\triangle MBD\backsim \triangle DBC\backsim \triangle NDC$.

解：∵三个内角的平分线交于点​D​
∴​BD​平分​∠ABC，​​CD​平分​∠ACB，​​AD​平分​∠BAC​
∴$​∠MBD=∠DBC=\frac 12∠ABC，$$​​∠NCD=∠DCB=\frac 12∠ACB，$​
$​∠BAD=∠CAD=\frac 12∠BAC​$
∵​AD⊥MN​
∴​∠ADM=∠ADN=90°​
∵$​∠BMD=∠BAD+90°=\frac 12∠BAC+90°，$$​​∠DNC=∠CAD+90°=\frac 12∠BAC+90°​$
又∵$​∠BDC=∠BAC+∠MBD+∠NCD=∠BAC+\frac 12(∠ABC+∠ACB)=\frac 12∠BAC+90°​$
∴​∠BMD=∠BDC=∠DNC​
∵​∠MBD=∠DBC，​​∠NCD=∠DCB​
∴​△MBD∽△DBC，​​△DBC∽△NDC​
∴​△MBD∽△DBC∽△BDC​