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4. 小明准备用 50 元钱买面包和酸奶,已知 1 个面包的价格为 6 元,1 盒酸奶的价格为 10 元,他买了 2 盒酸奶和 $x$ 个面包.
(1) 如果 50 元钱恰好用完,那么小明买了多少个面包?
(2) 如果要至少留 2 元钱乘公交车,那么小明最多能买多少个面包?
(1) 如果 50 元钱恰好用完,那么小明买了多少个面包?
(2) 如果要至少留 2 元钱乘公交车,那么小明最多能买多少个面包?
答案
（1）
根据已知，得$10× 2 + 6x = 50$，
化简，得$6x = 30$，
解得$x = 5$。
所以小明买了$5$个面包。
（2）
设小明买了$x$个面包，
根据已知，得$50 - (10× 2 + 6x) ≥ 2$，
去括号，得$50 - 20 - 6x ≥ 2$，
移项、合并同类项，得$-6x ≥ -28$，
两边同时除以$-6$，得$x ≤ \frac{14}{3}$，
因为$x$为整数，
所以$x$的最大值为$4$。
所以小明最多能买$4$个面包。
根据已知，得$10× 2 + 6x = 50$，
化简，得$6x = 30$，
解得$x = 5$。
所以小明买了$5$个面包。
（2）
设小明买了$x$个面包，
根据已知，得$50 - (10× 2 + 6x) ≥ 2$，
去括号，得$50 - 20 - 6x ≥ 2$，
移项、合并同类项，得$-6x ≥ -28$，
两边同时除以$-6$，得$x ≤ \frac{14}{3}$，
因为$x$为整数，
所以$x$的最大值为$4$。
所以小明最多能买$4$个面包。
解析
【分析】
（1）首先明确总花费等于买酸奶的费用加买面包的费用，已知买了2盒酸奶，每盒10元，$x$个面包每个6元，且50元恰好用完，据此可列出一元一次方程，求解即可得到面包的数量。
（2）至少留2元坐车，意味着总花费不超过$50-2=48$元，同样根据买酸奶和面包的总花费列出一元一次不等式，求解后结合$x$为正整数的实际情况，取最大的整数解就是最多能买的面包数。
【解析】
（1）根据题意，买2盒酸奶的费用为$10×2$元，买$x$个面包的费用为$6x$元，因为50元恰好用完，所以列方程：
$10×2 + 6x = 50$
化简得：$6x = 30$
解得：$x = 5$
答：小明买了5个面包。
（2）设小明买了$x$个面包，根据题意，总花费需满足$50 - (10×2 + 6x) ≥ 2$，
去括号得：$50 - 20 - 6x ≥ 2$
移项、合并同类项得：$-6x ≥ -28$
两边同时除以$-6$，不等号方向改变：$x ≤ \frac{14}{3}$
因为$x$为正整数，所以$x$的最大值为4
答：小明最多能买4个面包。
【答案】
（1）5个；（2）4个
【知识点】
一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于实际生活中的购物预算问题，核心是根据题意准确找出等量关系或不等关系，建立方程或不等式模型求解，同时要注意实际问题中未知数的取值为正整数这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确总花费等于买酸奶的费用加买面包的费用，已知买了2盒酸奶，每盒10元，$x$个面包每个6元，且50元恰好用完，据此可列出一元一次方程，求解即可得到面包的数量。
（2）至少留2元坐车，意味着总花费不超过$50-2=48$元，同样根据买酸奶和面包的总花费列出一元一次不等式，求解后结合$x$为正整数的实际情况，取最大的整数解就是最多能买的面包数。
【解析】
（1）根据题意，买2盒酸奶的费用为$10×2$元，买$x$个面包的费用为$6x$元，因为50元恰好用完，所以列方程：
$10×2 + 6x = 50$
化简得：$6x = 30$
解得：$x = 5$
答：小明买了5个面包。
（2）设小明买了$x$个面包，根据题意，总花费需满足$50 - (10×2 + 6x) ≥ 2$，
去括号得：$50 - 20 - 6x ≥ 2$
移项、合并同类项得：$-6x ≥ -28$
两边同时除以$-6$，不等号方向改变：$x ≤ \frac{14}{3}$
因为$x$为正整数，所以$x$的最大值为4
答：小明最多能买4个面包。
【答案】
（1）5个；（2）4个
【知识点】
一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于实际生活中的购物预算问题，核心是根据题意准确找出等量关系或不等关系，建立方程或不等式模型求解，同时要注意实际问题中未知数的取值为正整数这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
5. 比较“用一元一次不等式解决问题”和“用一元一次方程解决问题”的区别与联系.
答案
联系：
1. 均含有一个未知数，未知数的次数为1，均为整式模型；
2. 解题步骤类似，均需经历审题、设未知数、找关系、列式子、求解、检验等过程。
区别：
1. 解决问题类型不同：方程解决具有等量关系的问题，不等式解决具有不等关系的问题；
2. 解的形式不同：一元一次方程一般有唯一解（特定数值），一元一次不等式的解是一个解集（取值范围）；
3. 求解过程不同：解不等式时，两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向需改变，方程无此要求。
1. 均含有一个未知数，未知数的次数为1，均为整式模型；
2. 解题步骤类似，均需经历审题、设未知数、找关系、列式子、求解、检验等过程。
区别：
1. 解决问题类型不同：方程解决具有等量关系的问题，不等式解决具有不等关系的问题；
2. 解的形式不同：一元一次方程一般有唯一解（特定数值），一元一次不等式的解是一个解集（取值范围）；
3. 求解过程不同：解不等式时，两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向需改变，方程无此要求。
解析
【分析】
要比较“用一元一次不等式解决问题”和“用一元一次方程解决问题”的区别与联系，可从模型特征、解题流程、问题适配性三个维度展开思考：
1. 联系层面：先回忆两者的定义，它们都属于只含一个未知数且次数为1的整式模型；再梳理解题流程，发现二者都需要经历审题、设未知数、找数量关系、列式、求解、检验这些核心步骤，逻辑框架一致。
2. 区别层面：首先看适配的问题类型，方程对应等量关系的问题，不等式对应不等关系的问题；再看解的形式，方程的解是确定的单个数值，不等式的解是一个取值范围；最后看求解规则，不等式在乘除负数时不等号方向要改变，方程无此特殊要求。
【解析】
联系：
1. 模型属性相同：两者都只含有一个未知数，未知数的次数为1，均属于整式模型。
2. 解题步骤相似：解决实际问题时，都需要依次完成审题理解题意、设未知数、寻找数量关系、列出对应的式子（方程或不等式）、求解、检验结果是否符合实际情况等步骤。
区别：
1. 适用问题类型不同：一元一次方程用于解决存在等量关系的实际问题；一元一次不等式用于解决存在不等关系的实际问题。
2. 解的形式不同：一元一次方程通常有唯一确定的解（一个具体数值）；一元一次不等式的解是一个解集，即满足条件的未知数的所有取值范围。
3. 求解规则不同：解一元一次不等式时，若两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变；而解一元一次方程时，等式两边乘除同一个非零数，等式始终成立，无需改变符号。
【答案】
联系：
1. 均含有一个未知数，未知数的次数为1，均为整式模型；
2. 解题步骤类似，均需经历审题、设未知数、找关系、列式子、求解、检验等过程。
区别：
1. 解决问题类型不同：方程解决具有等量关系的问题，不等式解决具有不等关系的问题；
2. 解的形式不同：一元一次方程一般有唯一解（特定数值），一元一次不等式的解是一个解集（取值范围）；
3. 求解过程不同：解不等式时，两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向需改变，方程无此要求。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 一元一次不等式应用
3. 两类模型的联系与区别
【点评】
明确一元一次方程和一元一次不等式解决问题的区别与联系，能帮助我们快速判断实际问题中的数量关系类型，选择合适的数学模型解题，既可以加深对整式方程与不等式概念的理解，也能提升分析和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要比较“用一元一次不等式解决问题”和“用一元一次方程解决问题”的区别与联系，可从模型特征、解题流程、问题适配性三个维度展开思考：
1. 联系层面：先回忆两者的定义，它们都属于只含一个未知数且次数为1的整式模型；再梳理解题流程，发现二者都需要经历审题、设未知数、找数量关系、列式、求解、检验这些核心步骤，逻辑框架一致。
2. 区别层面：首先看适配的问题类型，方程对应等量关系的问题，不等式对应不等关系的问题；再看解的形式，方程的解是确定的单个数值，不等式的解是一个取值范围；最后看求解规则，不等式在乘除负数时不等号方向要改变，方程无此特殊要求。
【解析】
联系：
1. 模型属性相同：两者都只含有一个未知数，未知数的次数为1，均属于整式模型。
2. 解题步骤相似：解决实际问题时，都需要依次完成审题理解题意、设未知数、寻找数量关系、列出对应的式子（方程或不等式）、求解、检验结果是否符合实际情况等步骤。
区别：
1. 适用问题类型不同：一元一次方程用于解决存在等量关系的实际问题；一元一次不等式用于解决存在不等关系的实际问题。
2. 解的形式不同：一元一次方程通常有唯一确定的解（一个具体数值）；一元一次不等式的解是一个解集，即满足条件的未知数的所有取值范围。
3. 求解规则不同：解一元一次不等式时，若两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变；而解一元一次方程时，等式两边乘除同一个非零数，等式始终成立，无需改变符号。
【答案】
联系：
1. 均含有一个未知数，未知数的次数为1，均为整式模型；
2. 解题步骤类似，均需经历审题、设未知数、找关系、列式子、求解、检验等过程。
区别：
1. 解决问题类型不同：方程解决具有等量关系的问题，不等式解决具有不等关系的问题；
2. 解的形式不同：一元一次方程一般有唯一解（特定数值），一元一次不等式的解是一个解集（取值范围）；
3. 求解过程不同：解不等式时，两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向需改变，方程无此要求。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 一元一次不等式应用
3. 两类模型的联系与区别
【点评】
明确一元一次方程和一元一次不等式解决问题的区别与联系，能帮助我们快速判断实际问题中的数量关系类型，选择合适的数学模型解题，既可以加深对整式方程与不等式概念的理解，也能提升分析和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6. 某商店 5 月 1 日举行促销活动,当天到该商店购买商品有两种优惠方案.方案一:用 168 元购买会员卡成为会员后,凭会员卡购买商店内任意商品,一律按商品售价的 8 折优惠.方案二:若不购买会员卡,则购买商店内任意商品,一律按商品售价的 9.5 折优惠.
(1) 若不购买会员卡,所购买商品的金额为 120 元时,实际应支付多少元?
(2) 所购买商品的金额在什么范围内时,采用方案一更合算?
(1) 若不购买会员卡,所购买商品的金额为 120 元时,实际应支付多少元?
(2) 所购买商品的金额在什么范围内时,采用方案一更合算?
答案
（1）根据方案二，不购买会员卡时，商品按售价的$9.5$折优惠。
因此，若购买金额为$120$元，实际应支付：
$120 × 0.95 = 114(元)$。
答：实际应支付$114$元。
（2）设购买商品的价格为$x$元，由题意，得：
方案一的实际支付金额为：$168 + 0.8x$，
方案二的实际支付金额为：$0.95x$，
若方案一更合算，则有：
$168 + 0.8x ＜ 0.95x$，
移项并化简，得：
$0.15x ＞ 168$，
解得：
$x ＞ 1120$。
答：当购买商品的金额超过$1120$元时，采用方案一更合算。
因此，若购买金额为$120$元，实际应支付：
$120 × 0.95 = 114(元)$。
答：实际应支付$114$元。
（2）设购买商品的价格为$x$元，由题意，得：
方案一的实际支付金额为：$168 + 0.8x$，
方案二的实际支付金额为：$0.95x$，
若方案一更合算，则有：
$168 + 0.8x ＜ 0.95x$，
移项并化简，得：
$0.15x ＞ 168$，
解得：
$x ＞ 1120$。
答：当购买商品的金额超过$1120$元时，采用方案一更合算。
解析
【分析】
（1）对于第一问，已知不购买会员卡时按商品售价的9.5折优惠，只需用商品金额乘以折扣率0.95，即可算出实际支付金额。
（2）对于第二问，要确定方案一更合算的商品金额范围，首先设购买商品的金额为x元，分别表示出两种方案的实际支付费用：方案一需先支付168元会员卡费用，再按8折支付商品费用，即总费用为168+0.8x；方案二直接按9.5折支付商品费用，即0.95x。根据“方案一更合算”意味着方案一的费用小于方案二的费用，列出一元一次不等式，解不等式即可得到商品金额的范围。
【解析】
（1）根据方案二的优惠规则，不购买会员卡时实际支付金额为商品金额乘以0.95，即：
$120×0.95=114$（元）
答：实际应支付114元。
（2）设购买商品的金额为$x$元。
方案一的实际支付金额为：$168+0.8x$
方案二的实际支付金额为：$0.95x$
若方案一更合算，则有：
$168+0.8x ＜ 0.95x$
移项得：$0.95x - 0.8x ＞ 168$
化简得：$0.15x ＞ 168$
解得：$x ＞ 1120$
答：当购买商品的金额超过1120元时，采用方案一更合算。
【答案】
（1）114元；（2）当购买商品的金额超过1120元时，采用方案一更合算。
【知识点】
一元一次不等式应用、折扣问题
【点评】
本题结合实际促销场景，考查了折扣计算与一元一次不等式的实际应用，要求学生能准确分析不同方案的费用构成，通过建立不等式模型解决最优方案选择问题，有助于提升学生的数学应用能力与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）对于第一问，已知不购买会员卡时按商品售价的9.5折优惠，只需用商品金额乘以折扣率0.95，即可算出实际支付金额。
（2）对于第二问，要确定方案一更合算的商品金额范围，首先设购买商品的金额为x元，分别表示出两种方案的实际支付费用：方案一需先支付168元会员卡费用，再按8折支付商品费用，即总费用为168+0.8x；方案二直接按9.5折支付商品费用，即0.95x。根据“方案一更合算”意味着方案一的费用小于方案二的费用，列出一元一次不等式，解不等式即可得到商品金额的范围。
【解析】
（1）根据方案二的优惠规则，不购买会员卡时实际支付金额为商品金额乘以0.95，即：
$120×0.95=114$（元）
答：实际应支付114元。
（2）设购买商品的金额为$x$元。
方案一的实际支付金额为：$168+0.8x$
方案二的实际支付金额为：$0.95x$
若方案一更合算，则有：
$168+0.8x ＜ 0.95x$
移项得：$0.95x - 0.8x ＞ 168$
化简得：$0.15x ＞ 168$
解得：$x ＞ 1120$
答：当购买商品的金额超过1120元时，采用方案一更合算。
【答案】
（1）114元；（2）当购买商品的金额超过1120元时，采用方案一更合算。
【知识点】
一元一次不等式应用、折扣问题
【点评】
本题结合实际促销场景，考查了折扣计算与一元一次不等式的实际应用，要求学生能准确分析不同方案的费用构成，通过建立不等式模型解决最优方案选择问题，有助于提升学生的数学应用能力与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
