3. 有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲商品 3 件、乙商品 2 件、丙商品1 件共需 315 元，购买甲商品 1 件、乙商品 2 件、丙商品 3 件共需285 元，那么购买甲、乙、丙三种商品各 1 件共需()

A.120 元
B.130 元
C.140 元
D.150 元

D

设购买一件甲商品需要$x$元，购买一件乙商品需要$y$元，购买一件丙商品需要$z$元。
根据题意，可以列出以下两个方程：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 315 \quad (1), \\x + 2y + 3z = 285 \quad (2).\end{cases}$
将方程(1)和方程(2)相加，得到：
$4x + 4y + 4z = 600$，
将上式两边同时除以4，得到：
$x + y + z = 150$。
所以购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元。

二、填空题
4. 若方程组$\{\begin{array}{l} x + 4 = y,\\ 2x - y = 2a\end{array} $中$x$是$y$的 2 倍，则$a$的值是 ______ .

因为$x$是$y$的2倍，所以$x = 2y$（此式为新增条件方程）。
原方程组$\begin{cases}x + 4 = y \quad ①\\2x - y = 2a \quad ②\end{cases}$
把$x = 2y$代入$①$得：
$2y+4 = y$
移项可得：$2y - y=-4$
解得$y = - 4$。
把$y = - 4$代入$x = 2y$，得$x = 2×(-4)= - 8$。
把$x = - 8$，$y = - 4$代入$②$得：
$2×(-8)-(-4)=2a$
$-16 + 4 = 2a$
$-12 = 2a$
解得$a = - 6$。
故答案为$-6$。

5. 若一个三位数的个位和百位上数字之和等于十位上数字，百位上数字的 7 倍比个位和十位上数字之和大 2，且个位、十位、百位上数字之和是 14，则这个三位数是.

设这个三位数的百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$。
根据题意，得：
$\begin{cases}a + c = b & (1) \\7a - (b + c) = 2 & (2) \\a + b + c = 14 & (3)\end{cases}$
将$(1)$代入$(3)$：$a + (a + c) + c = 14$，化简得$2a + 2c = 14$，即$a + c = 7$ $(4)$。
将$(1)$代入$(2)$：$7a - (a + c + c) = 2$，化简得$6a - 2c = 2$，即$3a - c = 1$ $(5)$。
$(4) + (5)$：$a + c + 3a - c = 7 + 1$，得$4a = 8$，解得$a = 2$。
将$a = 2$代入$(4)$：$2 + c = 7$，解得$c = 5$。
将$a = 2$，$c = 5$代入$(1)$：$b = 2 + 5 = 7$。
所以这个三位数为$100a + 10b + c = 100×2 + 10×7 + 5 = 275$。
275

6. 已知代数式$ax^{2} + bx + c$，当$x = - 1$时，代数式的值是 4；当$x = 1$时，代数式的值是 8；当$x = 2$时，代数式的值是 25. 当$x = 3$时，代数式的值是.

根据题意，得三元一次方程组：
$\begin{cases}a - b + c = 4 &① \\a + b + c = 8 &② \\4a + 2b + c = 25 &③\end{cases}$
② - ①，得$2b = 4$，解得$b = 2$。
将$b = 2$代入②，得$a + 2 + c = 8$，即$a + c = 6$ ④。
③ - ②，得$3a + b = 17$，将$b = 2$代入，得$3a + 2 = 17$，解得$a = 5$。
将$a = 5$代入④，得$5 + c = 6$，解得$c = 1$。
所以代数式为$5x^2 + 2x + 1$。
当$x = 3$时，$5×3^2 + 2×3 + 1 = 5×9 + 6 + 1 = 45 + 6 + 1 = 52$。
52

三、解答题
7. 解方程组.
（1）$\{\begin{array}{l} \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4},\\ 2x + y + z = 22;\end{array} $
（2）$\{\begin{array}{l} 2x + y = 4,\\ x + 3z = 1,\\ x + y + z = 7.\end{array} $

（1）$(4, 6, 8)$
（2）$(-2, 8, 1)$

（1）设 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k$，则 $x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$。
代入第二个方程 $2x + y + z = 22$，得 $4k + 3k + 4k = 22$，即 $11k = 22$，解得 $k = 2$。
因此 $x = 4$，$y = 6$，$z = 8$。
（2）由第一个方程 $2x + y = 4$，得 $y = 4 - 2x$。
将 $y = 4 - 2x$ 代入第三个方程 $x + y + z = 7$，得 $x + (4 - 2x) + z = 7$，化简为 $-x + z = 3$，即 $z = x + 3$。
将 $z = x + 3$ 代入第二个方程 $x + 3z = 1$，得 $x + 3(x + 3) = 1$，化简为 $4x + 9 = 1$，解得 $x = -2$。
因此 $y = 4 - 2(-2) = 8$，$z = -2 + 3 = 1$。

8. 已知关于$x$，$y$的方程组$\{\begin{array}{l} x + 2y = m,\\ x - y = 4m\end{array} $的解是二元一次方程$3x + 2y = 14$的一个解，求$m$的值.

2（（题目要求直接填数字等非选择题答案时给此样式，若本题是选择题则答案选中的项为对应选项字母））

首先有方程组：$\begin{cases}x + 2y = m, \quad (1) \\x - y = 4m. \quad (2)\end{cases}$
从(2)中，可以得到：
$x = y + 4m \quad (3)$，
将(3)代入(1)中，可以得到：
$y + 4m + 2y = m$，
整理得：
$3y = -3m$，
从中解出：
$y = -m \quad (4)$，
将(4)代入(3)中，得到：
$x = 3m \quad (5)$，
现在，有了$x$和$y$的表达式，接下来将它们代入二元一次方程$3x + 2y = 14$中，得到：
$3(3m) + 2(-m) = 14$，
整理得：
$9m - 2m = 14$，
$7m = 14$，
从中，可以解出：
$m = 2$。