12. 二元一次方程组 $\begin{cases}\frac{x + y}{2} = \frac{2x - y}{3}\frac{x + y}{2} = x + 2\end{cases}$ 的解是 ______ 。

12. $\{ \begin{array} { l } { x = - 5 , } \\ { y = - 1 . } \end{array} $

【解析】
先将原方程组化为整式方程：
1. 对$\frac{x + y}{2} = \frac{2x - y}{3}$，两边同乘6去分母得：
$3(x + y) = 2(2x - y)$
展开并整理：$3x + 3y = 4x - 2y$，移项合并同类项得$x = 5y$ ①；
2. 对$\frac{x + y}{2} = x + 2$，两边同乘2去分母得：
$x + y = 2x + 4$
移项合并同类项得$x = y - 4$ ②；
将②代入①得：$y - 4 = 5y$，解得$y = -1$；
把$y = -1$代入②得：$x = -1 - 4 = -5$；
因此方程组的解为$\begin{cases}x=-5\\y=-1\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x = -5 \\ y = -1 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组的解法，需先将分式形式的方程化为整式方程，再利用代入消元法求解，去分母时注意不要漏乘每一项。
【难度系数】
0.6

13. 用代入法解方程组：
(1) $\begin{cases}y + 1 = 3x + 2\\4x + 2(y + 1) = 5\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3(x + y) - 4(x - y) = 4\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{6} = 1\end{cases}$

13. (1)$\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 1 } { 10 } , } \\ { y = \frac { 13 } { 10 } . } \end{array} $ (2)$\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 17 } { 15 } , } \\ { y = \frac { 11 } { 15 } . } \end{array} $

【解析】
(1) 记方程组$\begin{cases}y + 1 = 3x + 2&①\\4x + 2(y + 1) = 5&②\end{cases}$
由①得：$y+1=3x+2$ ③
将③代入②得：$4x+2(3x+2)=5$
展开计算：$4x+6x+4=5$，$10x=1$，解得$x=\frac{1}{10}$
把$x=\frac{1}{10}$代入③得：$y+1=3×\frac{1}{10}+2=\frac{23}{10}$，解得$y=\frac{13}{10}$
(2) 整理原方程组为$\begin{cases}3(x+y)-4(x-y)=4&①\\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{6}=1&②\end{cases}$
由①展开得：$-x+7y=4$，变形得$x=7y-4$ ③
对②两边同乘6去分母得：$3(x+y)+(x-y)=6$，化简为$2x+y=3$ ④
将③代入④得：$2(7y-4)+y=3$
展开计算：$14y-8+y=3$，$15y=11$，解得$y=\frac{11}{15}$
把$y=\frac{11}{15}$代入③得：$x=7×\frac{11}{15}-4=\frac{17}{15}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=\frac{1}{10}\\y=\frac{13}{10}\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=\frac{17}{15}\\y=\frac{11}{15}\end{cases}$
【知识点】
代入法解二元一次方程组，方程组的化简整理
【点评】
本题考查代入法解二元一次方程组，解题关键是通过变形用一个未知数表示另一个未知数实现消元，对于结构复杂的方程组可先整理简化，计算时需注意分数运算与符号的准确性。
【难度系数】
0.4

14. 已知有序数对 $(a,b)$ 及常数 $ k $，我们称有序数对 $(ka + b,a - b)$ 为有序数对 $(a,b)$ 的“$ k $ 阶结伴数对”。如 $(3,2)$ 的“$ 1 $ 阶结伴数对为 $(1×3 + 2,3 - 2)$，即 $(5,1)$。
(1) 有序数对 $(-2,1)$ 的“$ 3 $ 阶结伴数对”为；
(2) 若有序数对 $(a,b)$ 的“$ 2 $ 阶结伴数对”为 $(1,5)$，求 $ a $，$ b $ 的值；
(3) 若有序数对 $(a,b)(b ≠ 0)$ 的“$ k $ 阶结伴数对”是它本身，则 $ a $，$ b $ 满足的等量关系为，此时 $ k $ 的值为。

14. (1)$( - 5 , - 3 )$
(2)解:根据题意,得$\{ \begin{array} { l } { 2 a + b = 1 , } \\ { a - b = 5 . } \end{array} $
解得$\{ \begin{array} { l } { a = 2 , } \\ { b = - 3 , } \end{array} $即$a = 2 , b = - 3$.
(3)$a = 2 b$ $\frac { 1 } { 2 }$

【解析】
(1) 根据“$k$阶结伴数对”的定义，将$a=-2$，$b=1$，$k=3$代入$(ka+b,a-b)$，计算得：$3×(-2)+1=-5$，$-2-1=-3$，故结果为$(-5,-3)$。
(2) 由“2阶结伴数对”的定义可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 1 \\ a - b = 5 \end{cases}$
两式相加得$3a=6$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a - b = 5$，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$。
(3) 因“$k$阶结伴数对”是它本身，故$\begin{cases}ka + b = a \\ a - b = b \end{cases}$，由$a - b = b$得$a=2b$；将$a=2b$代入$ka + b = a$，结合$b≠0$，两边除以$b$得$2k+1=2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$(-5,-3)$；
(2)$a=2$，$b=-3$；
(3)$a=2b$，$\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组解法，等式性质
【点评】
本题以新定义“$k$阶结伴数对”为载体，考查新定义理解、二元一次方程组求解，要求学生准确把握定义，运用方程思想解决问题，提升阅读理解与运算能力。
【难度系数】
0.6