9. 如图,在$\odot O$中,$AB= CD$. 求证:$AD= BC$.
答案
证明：
∵AB=CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AD=BC.
∵AB=CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AD=BC.
10. 如图,A 是半圆上的一个三等分点,B 为$\widehat{AD}$的中点,P 是直径 CD 上一动点,若$\odot O$的半径是 2,则$PA+PB$的最小值为( )
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{3}+1$
D.$2\sqrt{2}$
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{3}+1$
D.$2\sqrt{2}$
答案
D
解析
解：作点A关于直径CD的对称点A'，连接A'B交CD于点P，此时PA+PB最小，最小值为A'B的长。
连接OA，OA'，OB。
∵A是半圆上的三等分点，
∴∠AOD=60°，
∵点A与A'关于CD对称，
∴∠A'OD=∠AOD=60°。
∵B为$\widehat{AD}$的中点，
∴∠AOB=∠BOD=30°，
∴∠A'OB=∠A'OD+∠BOD=60°+30°=90°。
∵OA'=OB=2，
∴A'B=$\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
即PA+PB的最小值为$2\sqrt{2}$。
D
连接OA，OA'，OB。
∵A是半圆上的三等分点，
∴∠AOD=60°，
∵点A与A'关于CD对称，
∴∠A'OD=∠AOD=60°。
∵B为$\widehat{AD}$的中点，
∴∠AOB=∠BOD=30°，
∴∠A'OB=∠A'OD+∠BOD=60°+30°=90°。
∵OA'=OB=2，
∴A'B=$\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
即PA+PB的最小值为$2\sqrt{2}$。
D
11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 70°$,$\odot O截\triangle ABC$的三边所得的弦长相等,则$\angle BOC= $( )
A.$140°$
B.$135°$
C.$130°$
D.$125°$
A.$140°$
B.$135°$
C.$130°$
D.$125°$
答案
D
解析
证明：过点$O$作$OD\perp AB$于$D$，$OE\perp BC$于$E$，$OF\perp AC$于$F$。
因为$\odot O$截$\triangle ABC$的三边所得的弦长相等，所以$OD = OE = OF$，即点$O$是$\triangle ABC$内角平分线的交点。
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 70°$，所以$\angle ABC+\angle ACB=180° - 70°=110°$。
因为$BO$平分$\angle ABC$，$CO$平分$\angle ACB$，所以$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=\frac{1}{2}×110° = 55°$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC=180° - (\angle OBC+\angle OCB)=180° - 55°=125°$。
答案：D
因为$\odot O$截$\triangle ABC$的三边所得的弦长相等，所以$OD = OE = OF$，即点$O$是$\triangle ABC$内角平分线的交点。
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 70°$，所以$\angle ABC+\angle ACB=180° - 70°=110°$。
因为$BO$平分$\angle ABC$，$CO$平分$\angle ACB$，所以$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=\frac{1}{2}×110° = 55°$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC=180° - (\angle OBC+\angle OCB)=180° - 55°=125°$。
答案：D
12. 如图,PO 是$\odot O$的直径所在的直线,且 PO 平分$\angle BPD$,$OE\perp AB$于点 E,$OF\perp CD$于点 F,有下列结论:①$AB= CD$. ②$\widehat{AB}= \widehat{CD}$. ③$PO= PE$. ④$PB= PD$. 其中正确的结论是______.(填序号)
答案
①②④
解析
证明：
∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵OE、OF为弦心距，OE=OF，
∴AB=CD（弦心距相等则弦相等），①正确；
∴$\widehat{AB}=\widehat{CD}$（等弦对等弧），②正确；
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=EB=$\frac{1}{2}$AB，CF=FD=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD，
∴EB=FD。
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
$\left\{\begin{array}{l}OE=OF\\∠OEP=∠OFP=90°\\OP=OP\end{array}\right.$，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL），
∴PE=PF。
∵PE=PF，EB=FD，
∴PE+EB=PF+FD，即PB=PD，④正确；
PO与PE不一定相等，③错误。
综上，正确结论是①②④。
①②④
∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵OE、OF为弦心距，OE=OF，
∴AB=CD（弦心距相等则弦相等），①正确；
∴$\widehat{AB}=\widehat{CD}$（等弦对等弧），②正确；
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=EB=$\frac{1}{2}$AB，CF=FD=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD，
∴EB=FD。
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
$\left\{\begin{array}{l}OE=OF\\∠OEP=∠OFP=90°\\OP=OP\end{array}\right.$，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL），
∴PE=PF。
∵PE=PF，EB=FD，
∴PE+EB=PF+FD，即PB=PD，④正确；
PO与PE不一定相等，③错误。
综上，正确结论是①②④。
①②④
13. 如图,在$\odot O$中,$OA= 4$,$\widehat{CD}= \widehat{BD}$,直径$AB\perp CD$于点 E,连结 OC,OD.
(1)求$\angle COD$的度数.
(2)求 CD 的长度.
(1)求$\angle COD$的度数.
(2)求 CD 的长度.
答案
解：
(1)
∵AB⊥CD，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$.
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠COD=$\frac{1}{3}$×360°=120°.
(2)
∵AB⊥CD，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠COD=60°.
在Rt△COE中，∠OCE=90°-∠COE=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$CO=2，
∴CE=$\sqrt{3}$OE=2$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=4$\sqrt{3}$.
(1)
∵AB⊥CD，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$.
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠COD=$\frac{1}{3}$×360°=120°.
(2)
∵AB⊥CD，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠COD=60°.
在Rt△COE中，∠OCE=90°-∠COE=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$CO=2，
∴CE=$\sqrt{3}$OE=2$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=4$\sqrt{3}$.
