如图 8-17,在一座山的 A、B 两点之间修建一条直的隧道,事先需进行工程预算,为此要测出 AB 的长.在 AB 的一侧取一点 C,连接 AC,BC,分别取 AC,BC 的中点 D,E,测出 DE 的长就可得到 AB 的长.你能说出其中的道理吗？

∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
∴DE = $\frac{1}{2}$AB，即AB = 2DE。
因此，测出DE的长，乘以2就可得到AB的长。

例 1 如图 8-18,在△ABC 中,E,F 分别是 BC,AC 的中点,延长 BA 到点 D,使 AD=$\frac{1}{2}$AB，连接 DF,EF,AE.求证:四边形 AEFD 是平行四边形.

证明：
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，EF=$\frac{1}{2}$AB。
∵AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=EF。
∵点D在BA的延长线上，EF//AB，
∴EF//AD。
∵EF//AD且EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形。

例 2 如图 8-19,在四边形 ABCD 中,E 是线段 AD 上的任意一点(点 E 与点 A,D 不重合),G,F,H 分别是 BE,BC,CE 的中点.
(1)求证:四边形 EGFH 是平行四边形.
(2)连接 EF,若 EF⊥BC,且 EF=$\frac{1}{2}$BC,求证:四边形 EGFH 是正方形.

(1)证明：
∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF是△BEC的中位线，
∴GF//EC，且GF=$\frac{1}{2}$EC。
∵H，F分别是CE，BC的中点，
∴FH是△BEC的中位线，
∴FH//BE，且FH=$\frac{1}{2}$BE。
∵G是BE的中点，∴GE=$\frac{1}{2}$BE，
∴FH=GE，且FH//GE，
∴四边形EGFH是平行四边形。
(2)证明：
∵F是BC的中点，∴BF=FC=$\frac{1}{2}$BC。
∵EF=$\frac{1}{2}$BC，∴EF=BF=FC。
∵EF⊥BC，∴∠EFB=∠EFC=90°，
∴△EFB和△EFC均为等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠CEF=45°，BE=EC，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=90°。
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴GE=$\frac{1}{2}$BE，EH=$\frac{1}{2}$EC，
∵BE=EC，∴GE=EH。
∵四边形EGFH是平行四边形（已证），且GE=EH，
∴四边形EGFH是菱形。
∵GF//EC，FH//BE，
∴∠GFH=∠BEC=90°，
∴菱形EGFH是正方形。

(1)如图,在△ABC 中,DE 是中位线,DE=5,那么 BC=；

∵DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC（三角形中位线定理）。
∵DE = 5，
∴BC = 2DE = 2×5 = 10。
10

(2)已知三角形的周长为 10,连接各边中点所得的三角形的周长为；

5
解析：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。设原三角形的三边分别为$a$、$b$、$c$，则其周长为$a + b + c = 10$。连接各边中点所得的三角形的三边分别为原三角形三边的中位线，长度分别为$\frac{a}{2}$、$\frac{b}{2}$、$\frac{c}{2}$，所以新三角形的周长为$\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10}{2} = 5$。

(3)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,D,E,F 分别是 BC,AB,BD 的中点,AB=6,AC=8,则 DE=,EF=.

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。
D是BC中点，E是AB中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8=4$。
D是BC中点，BC=10，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=5。
E是AB中点，F是BD中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD。
在Rt△ABC中，D是BC中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴EF=$\frac{1}{2}×5=2.5$。
4；2.5