登录
5. 把下列各式分解因式：
(1) $a^{2}x^{2} - ax$； (2) $-14abc - 7ab + 49ab^{2}c$；
(3) $18x^{n + 1} - 24x^{n}$； (4) $2m(a - b) - 3n(a - b)$；
(5) $15(a + b)^{2} + 3y(b + a)$； (6) $4(x - y)^{3} - 6(y - x)^{2}$.
(1) $a^{2}x^{2} - ax$； (2) $-14abc - 7ab + 49ab^{2}c$；
(3) $18x^{n + 1} - 24x^{n}$； (4) $2m(a - b) - 3n(a - b)$；
(5) $15(a + b)^{2} + 3y(b + a)$； (6) $4(x - y)^{3} - 6(y - x)^{2}$.
答案
5.（1）$ ax(ax - 1) $ （2）$ -7ab(2c + 1 - 7bc) $ （3）$ 6(3x - 4)x^{n} $ （4）$ (a - b)(2m - 3n) $ （5）$ 3(a + b)(5a + 5b + y) $ （6）$ 2(x - y)^{2}(2x - 2y - 3) $
解析
【解析】
(1) 观察多项式$a^{2}x^{2} - ax$，各项的公因式为$ax$，提取公因式得：$ax(ax - 1)$；
(2) 观察多项式$-14abc - 7ab + 49ab^{2}c$，各项的公因式为$-7ab$，提取公因式得：$-7ab(2c + 1 - 7bc)$；
(3) 观察多项式$18x^{n + 1} - 24x^{n}$，各项的公因式为$6x^{n}$，提取公因式得：$6x^{n}(3x - 4)$（或$6(3x - 4)x^{n}$）；
(4) 观察多项式$2m(a - b) - 3n(a - b)$，将$(a - b)$看作整体，公因式为$(a - b)$，提取公因式得：$(a - b)(2m - 3n)$；
(5) 先将$(b + a)$转化为$(a + b)$，多项式$15(a + b)^{2} + 3y(a + b)$的公因式为$3(a + b)$，提取公因式得：$3(a + b)(5a + 5b + y)$；
(6) 先将$(y - x)^{2}$转化为$(x - y)^{2}$，多项式$4(x - y)^{3} - 6(x - y)^{2}$的公因式为$2(x - y)^{2}$，提取公因式得：$2(x - y)^{2}(2x - 2y - 3)$。
【答案】
(1) $ax(ax - 1)$；(2) $-7ab(2c + 1 - 7bc)$；(3) $6x^{n}(3x - 4)$（或$6(3x - 4)x^{n}$）；(4) $(a - b)(2m - 3n)$；(5) $3(a + b)(5a + 5b + y)$；(6) $2(x - y)^{2}(2x - 2y - 3)$
【知识点】
1. 提取公因式法分解因式；2. 整体思想在因式分解中的应用；3. 公因式的确定
【点评】
本题为因式分解的基础题型，主要考查提取公因式法分解因式。解题关键在于准确确定各项的公因式，注意符号的变化，以及将互为相反数的因式转化为相同因式，同时运用整体思想把多项式中的部分式子看作一个整体，有助于提升对因式分解基本方法的理解与运用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 观察多项式$a^{2}x^{2} - ax$，各项的公因式为$ax$，提取公因式得：$ax(ax - 1)$；
(2) 观察多项式$-14abc - 7ab + 49ab^{2}c$，各项的公因式为$-7ab$，提取公因式得：$-7ab(2c + 1 - 7bc)$；
(3) 观察多项式$18x^{n + 1} - 24x^{n}$，各项的公因式为$6x^{n}$，提取公因式得：$6x^{n}(3x - 4)$（或$6(3x - 4)x^{n}$）；
(4) 观察多项式$2m(a - b) - 3n(a - b)$，将$(a - b)$看作整体，公因式为$(a - b)$，提取公因式得：$(a - b)(2m - 3n)$；
(5) 先将$(b + a)$转化为$(a + b)$，多项式$15(a + b)^{2} + 3y(a + b)$的公因式为$3(a + b)$，提取公因式得：$3(a + b)(5a + 5b + y)$；
(6) 先将$(y - x)^{2}$转化为$(x - y)^{2}$，多项式$4(x - y)^{3} - 6(x - y)^{2}$的公因式为$2(x - y)^{2}$，提取公因式得：$2(x - y)^{2}(2x - 2y - 3)$。
【答案】
(1) $ax(ax - 1)$；(2) $-7ab(2c + 1 - 7bc)$；(3) $6x^{n}(3x - 4)$（或$6(3x - 4)x^{n}$）；(4) $(a - b)(2m - 3n)$；(5) $3(a + b)(5a + 5b + y)$；(6) $2(x - y)^{2}(2x - 2y - 3)$
【知识点】
1. 提取公因式法分解因式；2. 整体思想在因式分解中的应用；3. 公因式的确定
【点评】
本题为因式分解的基础题型，主要考查提取公因式法分解因式。解题关键在于准确确定各项的公因式，注意符号的变化，以及将互为相反数的因式转化为相同因式，同时运用整体思想把多项式中的部分式子看作一个整体，有助于提升对因式分解基本方法的理解与运用能力。
【难度系数】
0.8
6. 用简便方法计算：
(1) $-5652×0.13 + 4652×0.13$； (2) $49×19.99 + 5.2×199.9 - 19.99$.
(1) $-5652×0.13 + 4652×0.13$； (2) $49×19.99 + 5.2×199.9 - 19.99$.
答案
6.（1）$ -130 $ （2）1999
解析
【解析】
(1) 原式$=0.13×(-5652 + 4652)$
$=0.13×(-1000)$
$=-130$
(2) 原式$=49×19.99 + 52×19.99 - 19.99×1$
$=19.99×(49 + 52 - 1)$
$=19.99×100$
$=1999$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-130}$；(2) $\boldsymbol{1999}$
【知识点】
提取公因式法、有理数简便运算
【点评】
本题考查乘法分配律的逆用（提取公因式）在有理数简便计算中的应用，解题需观察式子特征，统一公因式以简化运算。
【难度系数】
0.7
(1) 原式$=0.13×(-5652 + 4652)$
$=0.13×(-1000)$
$=-130$
(2) 原式$=49×19.99 + 52×19.99 - 19.99×1$
$=19.99×(49 + 52 - 1)$
$=19.99×100$
$=1999$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-130}$；(2) $\boldsymbol{1999}$
【知识点】
提取公因式法、有理数简便运算
【点评】
本题考查乘法分配律的逆用（提取公因式）在有理数简便计算中的应用，解题需观察式子特征，统一公因式以简化运算。
【难度系数】
0.7
1. 阅读与思考：因为 $5a + 10b = 5(a + 2b)$，所以代数式 $5a + 10b$ 能被 5 整除.
试证明：有一个两位数，其十位数字为 $a$，个位数字为 $b$. 把这个两位数的十位数字与个位数字交换，形成一个新的两位数，试判断这个两位数与新的两位数之差能被 9 整除.
试证明：有一个两位数，其十位数字为 $a$，个位数字为 $b$. 把这个两位数的十位数字与个位数字交换，形成一个新的两位数，试判断这个两位数与新的两位数之差能被 9 整除.
答案
1. 这个两位数为 $ 10a + b(a ≠ 0,b ≠ 0) $，新的两位数为 $ 10b + a $，$ (10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9(a - b) $，所以这个两位数与新的两位数字之差能被 9 整除
解析
【解析】
原两位数可表示为$10a + b$（$a≠0$，$b$为0到9的整数），交换十位与个位数字后的新两位数为$10b + a$。计算两数之差：
$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9(a - b)$。
因为$9(a - b)$是9的倍数，所以这个两位数与新的两位数之差能被9整除。
【答案】
这个两位数与新的两位数之差能被9整除。
【知识点】
整式加减运算、数的整除性、两位数的表示
【点评】
本题考查用代数式表示数及整式加减运算，通过代数变形将两数之差转化为9的倍数形式，理解整除的概念，提升代数推理能力。
【难度系数】
0.8
原两位数可表示为$10a + b$（$a≠0$，$b$为0到9的整数），交换十位与个位数字后的新两位数为$10b + a$。计算两数之差：
$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9(a - b)$。
因为$9(a - b)$是9的倍数，所以这个两位数与新的两位数之差能被9整除。
【答案】
这个两位数与新的两位数之差能被9整除。
【知识点】
整式加减运算、数的整除性、两位数的表示
【点评】
本题考查用代数式表示数及整式加减运算，通过代数变形将两数之差转化为9的倍数形式，理解整除的概念，提升代数推理能力。
【难度系数】
0.8
2. 阅读理解：下面是小明分解因式 $ax + ay + bx + by$ 的方法，首先他将该多项式分为两组得到 $(ax + ay) + (bx + by)$. 然后对各组进行因式分解，得到 $a(x + y) + b(x + y)$，结果发现有公因式 $(x + y)$，提出后得到 $(x + y)(a + b)$.
(1) 小颖也尝试对多项式 $m^{2} + mn + 5m + 5n$ 进行因式分解，她最后提出的公因式是
(2) 请尝试用小明的方法对多项式 $ax^{2} - bx^{2} + 9ay^{2} - 9by^{2}$ 进行因式分解.
(1) 小颖也尝试对多项式 $m^{2} + mn + 5m + 5n$ 进行因式分解，她最后提出的公因式是
(m + n)
；(2) 请尝试用小明的方法对多项式 $ax^{2} - bx^{2} + 9ay^{2} - 9by^{2}$ 进行因式分解.
答案
2.（1）$ (m + n) $ （2）$ (a - b)(x^{2} + 9y^{2}) $
解析
【解析】
(1) 对多项式 $m^{2} + mn + 5m + 5n$ 分组得 $(m^{2}+mn)+(5m+5n)$，分别因式分解得 $m(m+n)+5(m+n)$，所以提出的公因式是 $(m+n)$。
(2) 对多项式 $ax^{2} - bx^{2} + 9ay^{2} - 9by^{2}$ 分组分解：
$\begin{aligned}&ax^{2} - bx^{2} + 9ay^{2} - 9by^{2}\\=&(ax^{2}-bx^{2})+(9ay^{2}-9by^{2})\\=&x^{2}(a - b)+9y^{2}(a - b)\\=&(a - b)(x^{2}+9y^{2})\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m + n)}$；(2) $\boldsymbol{(a - b)(x^{2} + 9y^{2})}$
【知识点】
分组分解法，提取公因式法
【点评】
本题考查分组分解法与提取公因式法进行因式分解，需合理分组，逐步提取公因式，掌握因式分解的基本方法与步骤是解题关键。
【难度系数】
0.8
(1) 对多项式 $m^{2} + mn + 5m + 5n$ 分组得 $(m^{2}+mn)+(5m+5n)$，分别因式分解得 $m(m+n)+5(m+n)$，所以提出的公因式是 $(m+n)$。
(2) 对多项式 $ax^{2} - bx^{2} + 9ay^{2} - 9by^{2}$ 分组分解：
$\begin{aligned}&ax^{2} - bx^{2} + 9ay^{2} - 9by^{2}\\=&(ax^{2}-bx^{2})+(9ay^{2}-9by^{2})\\=&x^{2}(a - b)+9y^{2}(a - b)\\=&(a - b)(x^{2}+9y^{2})\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m + n)}$；(2) $\boldsymbol{(a - b)(x^{2} + 9y^{2})}$
【知识点】
分组分解法，提取公因式法
【点评】
本题考查分组分解法与提取公因式法进行因式分解，需合理分组，逐步提取公因式，掌握因式分解的基本方法与步骤是解题关键。
【难度系数】
0.8
