例 1 (2023·南通)为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两工程队参与施工，具体信息如下.
信息 1：甲、乙两工程队每天施工面积(单位：m²)和每天施工费用(单位：元)如下表.

信息 2：甲工程队施工 1 800 m² 所需天数与乙工程队施工 1 200 m² 所需天数相等.
根据以上信息，回答下列问题.
(1) 求 x 的值；
(2) 该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队继续施工，两队共施工 22 天，且完成的施工面积不少于 15 000 m²，求这段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
分析 (1) 根据信息 2 提供的相等关系列方程求解即可；
(2) 建立施工费用与甲工程队施工天数的函数关系，利用函数求出施工费用的最小值即可.

(1) 由题意得：$\frac{1800}{x+300}=\frac{1200}{x}$，
交叉相乘得：$1800x = 1200(x + 300)$，
化简：$1800x = 1200x + 360000$，
$600x = 360000$，
解得：$x = 600$。
经检验，$x = 600$是原方程的解，且符合题意，故$x = 600$。
(2) 由(1)知，甲每天施工面积为$600 + 300 = 900\ \mathrm{m}^2$，乙每天施工面积为$600\ \mathrm{m}^2$。
设甲施工$a$天，则乙施工$(22 - a)$天，总施工面积为$900a + 600(22 - a)$。
由题意得：$900a + 600(22 - a) ≥ 15000$，
化简：$300a + 13200 ≥ 15000$，
$300a ≥ 1800$，
解得：$a ≥ 6$。
设总费用为$w$元，则$w = 3600a + 2200(22 - a) = 1400a + 48400$。
$\because 1400 ＞ 0$，$w$随$a$增大而增大，
$\therefore$当$a = 6$时，$w$最小，此时乙施工$22 - 6 = 16$天，
$w_{\mathrm{min}} = 1400×6 + 48400 = 8400 + 48400 = 56800$。
答：(1)$x = 600$；(2)至少需要支付施工费用$56800$元。