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1. 已知点$A(-4,-6)$，将点$A$先向右平移$4$个单位长度，再向上平移$6$个单位长度，得到点$A'$，则点$A'$的坐标为()。
A.$(0,0)$
B.$(1,1)$
C.$(2,2)$
D.$(5,5)$
A.$(0,0)$
B.$(1,1)$
C.$(2,2)$
D.$(5,5)$
答案
A
解析
已知点$A(-4,-6)$，向右平移$4$个单位长度，横坐标增加$4$，变为$-4 + 4 = 0$；再向上平移$6$个单位长度，纵坐标增加$6$，变为$-6 + 6 = 0$。所以点$A'$的坐标为$(0,0)$。
2. 在平面直角坐标系中，点$P(-2,1)$向右平移$3$个单位长度后位于()。
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
A
解析
点$P(-2,1)$向右平移$3$个单位长度，横坐标增加$3$，纵坐标不变。
新点的坐标为$(-2 + 3, 1) = (1, 1)$。
点$(1, 1)$的横纵坐标均为正数，因此位于第一象限。
新点的坐标为$(-2 + 3, 1) = (1, 1)$。
点$(1, 1)$的横纵坐标均为正数，因此位于第一象限。
3. (2024 辽宁)在平面直角坐标系中，线段$AB$的端点坐标分别为$A(2,-1)$，$B(1,0)$，将线段$AB$平移后，点$A$的对应点$A'$的坐标为$(2,1)$，则点$B$的对应点$B'$的坐标为。
答案
(1,2)
解析
由点A(2,-1)平移后得到A'(2,1)，可知平移规律为向上平移2个单位。则点B(1,0)向上平移2个单位后，对应点B'的坐标为(1,0+2)=(1,2)。
4. 在平面直角坐标系中，已知$A(1,4)$，$B(5,2)$，$C(3,-1)$，将线段$AB$平移后得线段$CD$，则点$D$的坐标是。
答案
$(7, - 3)$（或写为坐标形式）
解析
由题可知，线段$AB$平移后得到线段$CD$，已知$A(1,4)$平移至$C(3,-1)$，
先计算$A$点到$C$点的坐标变化，横坐标的变化为：
$3 - 1 = 2$，
纵坐标的变化为：
$ -1 - 4 = -5$，
即平移向量为$(2, -5)$。
根据平移的性质，线段$AB$上的每一点都应按照这一平移向量进行平移。
因此，$B(5,2)$平移后的坐标应为：
$D(x, y) = (5 + 2, 2 - 5) = (7, -3)$。
先计算$A$点到$C$点的坐标变化，横坐标的变化为：
$3 - 1 = 2$，
纵坐标的变化为：
$ -1 - 4 = -5$，
即平移向量为$(2, -5)$。
根据平移的性质，线段$AB$上的每一点都应按照这一平移向量进行平移。
因此，$B(5,2)$平移后的坐标应为：
$D(x, y) = (5 + 2, 2 - 5) = (7, -3)$。
5. 如图，网格纸中的每个小方格都是边长为$1$个单位长度的正方形，三角形$ABC$的顶点都在格点上。
(1) 点$A$的坐标为，点$C$的坐标为；
(2) 将三角形$ABC$先向左平移$3$个单位长度，再向下平移$6$个单位长度，请画出平移后的三角形$A_1B_1C_1$；
(3) 连接$A_1B$，$A_1C$，求三角形$A_1BC$的面积。
(1) 点$A$的坐标为，点$C$的坐标为；
(2) 将三角形$ABC$先向左平移$3$个单位长度，再向下平移$6$个单位长度，请画出平移后的三角形$A_1B_1C_1$；
(3) 连接$A_1B$，$A_1C$，求三角形$A_1BC$的面积。
答案
(1) $A(1, 2)$，$C(4, 1)$。
(2)
根据平移要求，得出平移后各点坐标：
$A_1(1-3, 2-6) = (-2, -4)$，
$B_1(0-3, 0-6) = (-3, -6)$，
$C_1(4-3, 1-6) = (1, -5)$。
在网格纸上标出这三点并连接，得到平移后的三角形$A_1B_1C_1$。
(3)
三角形$A_1BC$的底为$BC$，高为点$A_1$到$BC$的垂直距离（即$A_1$的$y$坐标与$B$，$C$的$y$坐标之差的绝对值），
$S_{△ A_1BC} = \frac{1}{2} × 底 × 高$
$ = \frac{1}{2} × 3 × 4 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 2 × 3 - 1 × 2$
$ = 6 - 1 - 3 - 2 $
$ = 6$
所以，$△ A_1BC$面积为6。
(2)
根据平移要求，得出平移后各点坐标：
$A_1(1-3, 2-6) = (-2, -4)$，
$B_1(0-3, 0-6) = (-3, -6)$，
$C_1(4-3, 1-6) = (1, -5)$。
在网格纸上标出这三点并连接，得到平移后的三角形$A_1B_1C_1$。
(3)
三角形$A_1BC$的底为$BC$，高为点$A_1$到$BC$的垂直距离（即$A_1$的$y$坐标与$B$，$C$的$y$坐标之差的绝对值），
$S_{△ A_1BC} = \frac{1}{2} × 底 × 高$
$ = \frac{1}{2} × 3 × 4 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 2 × 3 - 1 × 2$
$ = 6 - 1 - 3 - 2 $
$ = 6$
所以，$△ A_1BC$面积为6。
1. (2024 长沙)在平面直角坐标系中，将点$P(3,5)$向上平移$2$个单位长度后，得到的点$P'$的坐标为()。
A.$(1,5)$
B.$(5,5)$
C.$(3,3)$
D.$(3,7)$
A.$(1,5)$
B.$(5,5)$
C.$(3,3)$
D.$(3,7)$
答案
D
解析
在平面直角坐标系中，点的上下平移只改变纵坐标的值，向上平移$2$个单位长度，纵坐标增加$2$，横坐标不变。已知点$P(3,5)$，向上平移$2$个单位长度后，得到的点$P'$的横坐标仍为$3$，纵坐标为$5 + 2 = 7$，所以$P'$的坐标为$(3,7)$。
2. (2024 文山期末)在平面直角坐标系中，将点$P(a,b)$向左平移$1$个单位长度再向上平移$2$个单位长度，得到的点的坐标是()。
A.$(a + 1,b + 2)$
B.$(a + 1,b - 2)$
C.$(a - 1,b + 2)$
D.$(a - 1,b - 2)$
A.$(a + 1,b + 2)$
B.$(a + 1,b - 2)$
C.$(a - 1,b + 2)$
D.$(a - 1,b - 2)$
答案
C
解析
在平面直角坐标系中，点左右平移时，横坐标变化（左减右加），上下平移时，纵坐标变化（上加下减）。将点$P(a,b)$向左平移$1$个单位长度，横坐标变为$a - 1$；再向上平移$2$个单位长度，纵坐标变为$b + 2$，所以得到的点的坐标是$(a - 1,b + 2)$。
3. 将某个图形上每个点的横坐标都加$3$，纵坐标不变，得到一个新图形，该图形是由原图形()。
A.向右平移$3$个单位长度得到的
B.向左平移$3$个单位长度得到的
C.向上平移$3$个单位长度得到的
D.向下平移$3$个单位长度得到的
A.向右平移$3$个单位长度得到的
B.向左平移$3$个单位长度得到的
C.向上平移$3$个单位长度得到的
D.向下平移$3$个单位长度得到的
答案
A
解析
在平面直角坐标系中，图形上所有点的横坐标加上一个正数$3$，相当于将图形沿x轴的正方向（即向右）移动$3$个单位长度，纵坐标不变，不影响上下位置。因此，该图形是由原图形向右平移$3$个单位长度得到的。
4. 在平面直角坐标系中，已知点$A(-2,0)$和$B(0,3)$，将线段$AB$平移到线段$CD$(点$A$对应点$C$，点$B$对应点$D$)。已知点$C$的坐标为$(4,-3)$，则点$D$的坐标为。
答案
$(6,0)$
解析
由题意，线段$AB$经过平移得到线段$CD$，点$A(-2,0)$平移到点$C(4,-3)$。
计算平移规律：
横坐标的变化：$\Delta x = 4 - (-2) = 6$，
纵坐标的变化：$\Delta y = -3 - 0 = -3$，
因此，平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位。
应用平移规律求点$D$的坐标：
点$B(0,3)$平移后，横坐标：$0 + 6 = 6$，
纵坐标：$3 - 3 = 0$，
所以点$D$的坐标为$(6,0)$。
计算平移规律：
横坐标的变化：$\Delta x = 4 - (-2) = 6$，
纵坐标的变化：$\Delta y = -3 - 0 = -3$，
因此，平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位。
应用平移规律求点$D$的坐标：
点$B(0,3)$平移后，横坐标：$0 + 6 = 6$，
纵坐标：$3 - 3 = 0$，
所以点$D$的坐标为$(6,0)$。
