10.1 二元一次方程组的概念
课前预习
1. 二元一次方程的有关概念
(1) 二元一次方程：方程中含有个未知数，且含有未知数的式子都是，含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫作二元一次方程；
(2) 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的的值，叫作二元一次方程的解。
2. 二元一次方程组的有关概念
(1) 二元一次方程组：方程组中含有未知数，且含有未知数的式子都是，含有未知数的项的次数都是，一共有方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组；
(2) 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的，叫作二元一次方程组的解。
课堂探究
探究点1 二元一次方程(组)的概念

1. （1）二；整式；$1$
（2）两个未知数
2. （1）两个；整式；$1$；两个
（2）公共解

【例1】若关于$x$，$y$的方程$2x^{2m - 1}+3y^{3n - 2m}=6$是二元一次方程，求$5m - 3n$的值。

$2$

因为方程$2x^{2m - 1}+3y^{3n - 2m}=6$是二元一次方程，所以$x$，$y$的次数都为$1$。
可得方程组：$\begin{cases}2m - 1 = 1 \\ 3n - 2m = 1\end{cases}$
解第一个方程：$2m - 1 = 1$，$2m = 2$，$m = 1$。
将$m = 1$代入第二个方程：$3n - 2×1 = 1$，$3n - 2 = 1$，$3n = 3$，$n = 1$。
则$5m - 3n = 5×1 - 3×1 = 2$。

【例2】下列方程组中，是二元一次方程组的是。(填序号)
①$\begin{cases}x = 2y + 1,\\3x - 4z = 6;\end{cases}$②$\begin{cases}x - y = 1,\\x + y = 4;\end{cases}$
③$\begin{cases}x + y = 10,\\x = 6;\end{cases}$④$\begin{cases}5x + 3y = 19,\\xy = 6;\end{cases}$
⑤$\begin{cases}\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}=3x,\\y=\dfrac{2}{3}x.\end{cases}$

②③⑤

根据二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，含有未知数的项的次数都是1的方程组。
①含有三个未知数，不是二元一次方程组；
②符合定义，是二元一次方程组；
③符合定义，是二元一次方程组；
④中$xy$项的次数是2，不是二元一次方程组；
⑤符合定义，是二元一次方程组。

【变式1】已知$x - 2y^{\vert m - 1\vert}=14$是关于$x$，$y$的二元一次方程，则$m$的值为()。

A.$2$
B.$1$
C.$1$或$-1$
D.$2$或$0$

D

由二元一次方程的定义可知，方程中$x$的次数为$1$，$y$的次数也为$1$，所以$\vert m - 1\vert= 1$。则$m - 1 = 1$或$m - 1 = -1$。当$m - 1 = 1$时，$m = 2$；当$m - 1 = -1$时，$m = 0$。

【变式2】下列方程组中，不是二元一次方程组的是()。

A.$\begin{cases}x + y = 1,\\x + 2 = y\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 2y = 3,\\4x - 3y = - 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x - y = 1,\\xy = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x - 4y = 3,\\y = - 2\end{cases}$

C

二元一次方程组需满足：①含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③含有未知数的项的次数都是1。选项C中方程$xy=2$，未知数$x$和$y$的乘积项次数为2，不是一次方程，故该方程组不是二元一次方程组。

【例3】有下列三组数：①$\begin{cases}x = 2,\\y = 2,\end{cases}$②$\begin{cases}x = - 1,\\y = - 9,\end{cases}$③$\begin{cases}x = 3,\\y = - 1,\end{cases}$其中 ______ 是方程$3x + y = 8$的解， ______ 是方程$2x - y = 7$的解， ______ 是方程组$\begin{cases}3x + y = 8,\\2x - y = 7\end{cases}$的解。(填序号)

①③；②③；③

对于方程$3x + y = 8$：
①将$x=2$，$y=2$代入，$3×2 + 2 = 8$，成立，是解；
②将$x=-1$，$y=-9$代入，$3×(-1) + (-9) = -12≠8$，不是解；
③将$x=3$，$y=-1$代入，$3×3 + (-1) = 8$，成立，是解。
对于方程$2x - y = 7$：
①将$x=2$，$y=2$代入，$2×2 - 2 = 2≠7$，不是解；
②将$x=-1$，$y=-9$代入，$2×(-1) - (-9) = 7$，成立，是解；
③将$x=3$，$y=-1$代入，$2×3 - (-1) = 7$，成立，是解。
方程组$\begin{cases}3x + y = 8\\2x - y = 7\end{cases}$的解需同时满足两个方程，只有③同时满足，故是解。