7. 【数学应用】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法：从电线杆 $ DE $ 上一点 $ A $ 往地面拉两条长度相等的固定绳 $ AB $ 与 $ AC $，当固定点 $ B $，$ C $ 到杆脚 $ E $ 的距离相等，且点 $ B $，$ E $，$ C $ 在同一条直线上时，电线杆 $ DE $ 就垂直于 $ BC $。工程人员这种操作方法的依据是。

7. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合

8. 如图，$ AB = AC $，$ AD $ 是 $ △ ABC $ 的中线，点 $ E $，$ F $ 是中线 $ AD $ 上的两点。若 $ S_{△ ABC} = 10 $，则图中阴影部分的面积为。

8. 5

9. 如图，$ △ ABC $ 为等边三角形，点 $ E $ 在 $ AB $ 上，点 $ F $ 在 $ AC $ 上，$ AE = CF $，$ CE $ 与 $ BF $ 相交于点 $ P $，则 $ ∠ EPB $ 的度数为。

9. 60°

10. 如图，点 $ D $，$ E $ 在 $ △ ABC $ 的边 $ BC $ 上，$ AD = AE $，$ AB = AC $，求证：$ BD = EC $。

10. 证明:如图,作AF⊥BC于点F。
∵AD=AE,AB=AC,
∴BF=CF,DF=EF,
∴BF - DF=CF - EF,
∴BD=EC。

11. 【数学文化】“三等分任意角”是古希腊三大几何难题之一。数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的。使用量角器的方法简单易行，但准确性太差。如图①所示的“三等分角仪”可以将任意一个角分成三等份。这个仪器由两根有槽的棒 $ PA $，$ PB $ 组成，两根棒在 $ P $ 点相连并可绕点 $ P $ 旋转，$ C $ 是棒 $ PA $ 上的一个固定点，点 $ A $，$ O $ 可分别在棒 $ PA $，$ PB $ 内的槽中滑动，且始终保持 $ OA = OC = PC $。$ ∠ AOB $ 为要三等分的任意角，则利用“三等分角仪”可以得到 $ ∠ APB = \frac{1}{3} ∠ AOB $。我们把“三等分角仪”抽象成如图②所示的图形，请完成下面的证明。
已知：如图②，点 $ O $，$ C $ 分别在 $ ∠ APB $ 的边 $ PB $，$ PA $ 上，且 $ OA = OC = PC $。
求证：$ ∠ APB = \frac{1}{3} ∠ AOB $。

11. 证明:如图,
∵OC=PC,
∴∠P=∠1。
∵∠2=∠P+∠1,
∴∠2=2∠P。
∵OA=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠3=2∠P。
∵∠AOB=∠P+∠3,
∴∠AOB=3∠P,
即∠APB=$\frac {1}{3}$∠AOB。