1.（2023·雅安）如图，在□ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF = 1，EC = 3，则GF的长为（ ）

A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

C

2. 如图，在△ABC中，DE//AB//FG，且FG到DE、AB的距离之比为1∶2. 若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积为（ ）

A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

B

3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－8，6)，点P在矩形ABOC的内部，点E在边BO上，满足△PBE∽△CBO. 当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为____________________.

$\left(-\frac{32}{5},\frac{6}{5}\right)$或$(-4,3)$

4. 如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D. 若BF = 3EF，则$\frac{BD}{DC}$的值为__________.

$\frac{3}{2}$ 解析：$\because BE$是$\triangle ABC$的中线，$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$. 过点$E$作$EG// DC$交$AD$于点$G$. $\therefore \triangle AGE\sim\triangle ADC$. $\therefore \frac{GE}{DC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$. $\therefore DC = 2GE$. $\because BF = 3EF$，$\therefore \frac{EF}{BF}=\frac{1}{3}$. $\because GE// BD$，$\therefore \angle GEF=\angle DBF$，$\angle EGF=\angle BDF$. $\therefore \triangle GFE\sim\triangle DFB$. $\therefore \frac{EG}{BD}=\frac{EF}{BF}=\frac{1}{3}$. $\therefore BD = 3EG$. $\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}$.

5. △ABC的边上有D、E、F三点，各点的位置如图所示. 若∠B = ∠FAC，BD = AC，∠BDE = ∠C. 根据图中标示的长度，四边形ADEF与△ABC的面积比为（ ）

A. 1∶3
B. 1∶4
C. 2∶5
D. 3∶8

D

6. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，∠ADB = ∠CDE，DE交边AC于点E，延长DE，交BA的延长线于点F，且AD² = ED·FD. 求证：
（1）△BFD∽△CAD；
（2）BF·ED = AB·AD.

(1) $\because AD^{2}=ED\cdot FD$，$\therefore \frac{AD}{ED}=\frac{FD}{AD}$. 又$\because \angle ADF=\angle EDA$，$\therefore \triangle ADF\sim\triangle EDA$. $\therefore \angle F=\angle DAE$. $\because \angle ADB=\angle CDE$，$\therefore \angle ADB+\angle ADF=\angle CDE+\angle ADF$，即$\angle BDF=\angle CDA$. $\therefore \triangle BFD\sim\triangle CAD$ (2) $\because \triangle BFD\sim\triangle CAD$，$\therefore \frac{BF}{CA}=\frac{FD}{AD}$. $\because \frac{AD}{ED}=\frac{FD}{AD}$，$\therefore \frac{BF}{CA}=\frac{AD}{ED}$. $\because \triangle BFD\sim\triangle CAD$，$\therefore \angle B=\angle C$. $\therefore AB = CA$. $\therefore \frac{BF}{AB}=\frac{AD}{ED}$. $\therefore BF\cdot ED=AB\cdot AD$