4.(★★)计算:
(1)$(-6.5×10^{3})×(-1.2×10^{9})$;
(2)$(-3x^{2}y)^{2}· 6xy^{3}÷9x^{3}y^{4}$;
(3)$(\frac{3}{4}x^{2}y-\frac{1}{2}xy^{2}-\frac{5}{6}y^{3})· (-4xy^{2})$;
(4)$(3x-4y)(x+2y)$;
(5)$(6m^{3}n-6m^{2}n^{2}-3m^{2})÷(-3m^{2})$;
(6)$(\frac{1}{8})^{2025}· (-8)^{2026}+(π-3.14)^{0}+(-3)^{3}$。

4. (1)$7.8×10^{12}$; (2)$6x^{2}y$; (3)$-3x^{3}y^{3}+$
$2x^{2}y^{4}+\frac{10}{3}xy^{5}$; (4)$3x^{2}+2xy-8y^{2}$; (5)$-2mn+$
$2n^{2}+1$; (6)$-18$。

5.(★★★)阅读材料:
求$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+···+2^{100}$的值。
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+···+2^{99}+2^{100}$,①
将等式①两边同时乘2,
得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+···+2^{100}+2^{101}$。②
②-①,得$2S-S=2^{101}-1$,
即$S=2^{101}-1$。
所以$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+···+2^{100}=2^{101}-1$。
仿照此方法计算:
(1)$1+3+3^{2}+3^{3}+···+3^{100}$;
(2)$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+···+\frac{1}{2^{100}}$。

5. (1)设$S=1+3+3^{2}+3^{3}+··· +3^{100}$。①
将等式①两边同时乘3,得$3S=3+3^{2}+3^{3}+$
$3^{4}+··· +3^{100}+3^{101}$。②
②-①,得$3S-S=3^{101}-1$,即$S=\frac{3^{101}-1}{2}$。
所以$1+3+3^{2}+3^{3}+··· +3^{100}=\frac{3^{101}-1}{2}$。
(2)设$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+··· +\frac{1}{2^{100}}$。①
将等式①两边同时乘$\frac{1}{2}$,得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+$
$\frac{1}{2^{4}}+··· +\frac{1}{2^{101}}$。②
②-①,得$-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2^{101}}-1$,
即$S=2-\frac{1}{2^{100}}$。
所以$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+··· +\frac{1}{2^{100}}=2-\frac{1}{2^{100}}$。