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1. 对于实数 a，b，定义符号 $ \min\{a,b\} $为：当 a $ ≥ b $时， $ \min\{a,b\}=b $；当 a $ ＜ b $时， $ \min\{a,b\}=a $。例如： $ \min\{2,-1\}=-1 $。若关于 x的函数 $ y=\min\{2x-1,-x+3\} $ ，则该函数的最大值是_______。
答案
1. $\frac{5}{3}$
2. 某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数 $ y=|x+1| $的图象和性质做了探究。下面是该学习小组的探究过程，请补充完整：
表2-3-1
(1) 表 2-3-1 是 y 与 x 的几组对应值，请将表格补充完整：m 的值为_______，n 的值为 ___。
(2) 在如图2-3-6所示的平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质。
(3) 请观察函数的图象，直接写出如下结论：
$ \textcircled{1} $当自变量 x= ___时，函数的最小值为 ___。
$ \textcircled{2} $不等式 $ |x+1|＞2 $的解集为_______。
$ \textcircled{3} $函数 $ y=∣ x+1∣ $与 $ y=-\frac{1}{5} x+a $的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是（1，2）和 （b，3）。当 $ |x+1|＜-\frac{1}{5} x+a $时，直接写出不等式的解集。
表2-3-1
(1) 表 2-3-1 是 y 与 x 的几组对应值，请将表格补充完整：m 的值为_______，n 的值为 ___。
(2) 在如图2-3-6所示的平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质。
(3) 请观察函数的图象，直接写出如下结论：
$ \textcircled{1} $当自变量 x= ___时，函数的最小值为 ___。
$ \textcircled{2} $不等式 $ |x+1|＞2 $的解集为_______。
$ \textcircled{3} $函数 $ y=∣ x+1∣ $与 $ y=-\frac{1}{5} x+a $的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是（1，2）和 （b，3）。当 $ |x+1|＜-\frac{1}{5} x+a $时，直接写出不等式的解集。
答案
2. 解：(1)2；4
(2)描点及所画图象如答图2-3-1所示。性质：当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。(性质不唯一)
(3)①$-1$；0 ②$x＞1$或$x＜-3$
③$-4＜x＜1$。
解析：把$(1,2)$代入$y=-\frac{1}{5}x+a$，得
$2=-\frac{1}{5}+a$，$\therefore a=\frac{11}{5}$。
把$(b,3)$代入$y=-\frac{1}{5}x+\frac{11}{5}$，得$3=-\frac{1}{5}b+\frac{11}{5}$，
$\therefore b=-4$。
画出函数$y=-\frac{1}{5}x+\frac{11}{5}$的图象如答图2-3-1所示。
观察图象可知不等式$|x+1|＜-\frac{1}{5}x+\frac{11}{5}$的解集为$-4＜x＜1$。
3. 在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P（a，b）和点 Q（a， $ b^{\prime} $ ），给出如下定义：若 $ b^{\prime}=\{\begin{array}{l l}b,a＞1,\\ -b,a≤ 1,\end{array} $ 则称点 Q为点 P的关联点。例如：点（2，3）的关联点坐标是（2，3），点 （-2，5）的关联点坐标是（-2，-5）. （-2，5）的关联点坐标是（-2，-5）
(1) $ \textcircled{1} $点 $ (\sqrt{3},-1) $的关联点坐标是_______；点（0，3）的关联点坐标是_______；
$ \textcircled{2} $在点 A（2，-1），B（1，-1），C（-1，5）中有一个点不是函数 $ y=-2 x+3 $的图象上某一个点的关联点，这个点是_______。（填字母）
(2) 若点 P在函数 $ y=2 x-b $的图象上，求关联点 Q所在函数图象对应的表达式（用含有 b的式子表示），并写出自变量的取值范围。
(3) 在（2）的条件下所得到的函数中，当 b-1 $ ≤ x≤ b+4 $时，函数的最小值为 $ \frac{1}{2} b-3 $，求 b的值。
(1) $ \textcircled{1} $点 $ (\sqrt{3},-1) $的关联点坐标是_______；点（0，3）的关联点坐标是_______；
$ \textcircled{2} $在点 A（2，-1），B（1，-1），C（-1，5）中有一个点不是函数 $ y=-2 x+3 $的图象上某一个点的关联点，这个点是_______。（填字母）
(2) 若点 P在函数 $ y=2 x-b $的图象上，求关联点 Q所在函数图象对应的表达式（用含有 b的式子表示），并写出自变量的取值范围。
(3) 在（2）的条件下所得到的函数中，当 b-1 $ ≤ x≤ b+4 $时，函数的最小值为 $ \frac{1}{2} b-3 $，求 b的值。
答案
3. 解：(1)①$(\sqrt{3},-1)$；$(0,-3)$ ②C
(2)$\because$点$P$在函数$y=2x-b$的图象上，
$\therefore$设点$P$的坐标为$(x,2x-b)$。
由题意可得点$P$的关联点$Q$的坐标有两种可能：
①当点$P$的横坐标$x＞1$时，点$Q$的坐标为$(x,2x-b)$；
②当点$P$的横坐标$x≤1$时，点$Q$的坐标为$(x,b-2x)$。
$\therefore$点$Q$所在函数图象对应的表达式为
$y=\{\begin{array}{l}2x-b，x＞1,\\ -2x+b，x≤1。\end{array} $
(3)由(2)可知，对于要讨论的函数有如下性质：
当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
分情况讨论：
①当$b+4≤1$，即$b≤-3$时，函数最小值在$x=b+4$时取得。
将$x=b+4$代入$y=-2x+b$，得$y=-b-8$。
若$-b-8=\frac{1}{2}b-3$，可得$b=-\frac{10}{3}$，满足$b≤-3$的前提。
②当$b-1＞1$，即$b＞2$时，函数最小值在$x=b-1$时取得。
将$x=b-1$代入$y=2x-b$，得$y=b-2$。
若$b-2=\frac{1}{2}b-3$，可得$b=-2$，不满足$b＞2$的前提。
③当$b-1≤1＜b+4$，即$-3＜b≤2$时，函数最小值在$x=1$处取得。
将$x=1$代入$y=-2x+b$，得$y=b-2$。
若$b-2=\frac{1}{2}b-3$，可得$b=-2$，满足$-3＜b≤2$的前提。
综上所述，$b$的值为$-\frac{10}{3}$或$-2$。
(2)$\because$点$P$在函数$y=2x-b$的图象上，
$\therefore$设点$P$的坐标为$(x,2x-b)$。
由题意可得点$P$的关联点$Q$的坐标有两种可能：
①当点$P$的横坐标$x＞1$时，点$Q$的坐标为$(x,2x-b)$；
②当点$P$的横坐标$x≤1$时，点$Q$的坐标为$(x,b-2x)$。
$\therefore$点$Q$所在函数图象对应的表达式为
$y=\{\begin{array}{l}2x-b，x＞1,\\ -2x+b，x≤1。\end{array} $
(3)由(2)可知，对于要讨论的函数有如下性质：
当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
分情况讨论：
①当$b+4≤1$，即$b≤-3$时，函数最小值在$x=b+4$时取得。
将$x=b+4$代入$y=-2x+b$，得$y=-b-8$。
若$-b-8=\frac{1}{2}b-3$，可得$b=-\frac{10}{3}$，满足$b≤-3$的前提。
②当$b-1＞1$，即$b＞2$时，函数最小值在$x=b-1$时取得。
将$x=b-1$代入$y=2x-b$，得$y=b-2$。
若$b-2=\frac{1}{2}b-3$，可得$b=-2$，不满足$b＞2$的前提。
③当$b-1≤1＜b+4$，即$-3＜b≤2$时，函数最小值在$x=1$处取得。
将$x=1$代入$y=-2x+b$，得$y=b-2$。
若$b-2=\frac{1}{2}b-3$，可得$b=-2$，满足$-3＜b≤2$的前提。
综上所述，$b$的值为$-\frac{10}{3}$或$-2$。
