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8. 某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗。长方体池塘长 $ 9 \mathrm{ m} $、宽 $ 8 \mathrm{ m} $、高 $ 3 \mathrm{ m} $。后听从建筑师的建议改为建造等容积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少？(不考虑墙的厚度)
答案
首先计算原长方体池塘的容积：
$V = \mathrm{长} × \mathrm{宽} × \mathrm{高} = 9 × 8 × 3 = 216 \mathrm{m}^3$，
由于新建的正方体池塘的容积与原长方体池塘的容积相等，设正方体的边长为 $a$，则：
$a^3 = 216$，
解得：
$a = \sqrt[3]{216} = 6 \mathrm{m}$，
新建的正方体池塘也有一面利用了现有的墙，因此待建的三面墙的总长度为正方体三边的和，即：
$\mathrm{总长度} = 3 × a = 3 × 6 = 18 \mathrm{m}$。
故待建的三面墙的总长度是 $18 \mathrm{m}$。
$V = \mathrm{长} × \mathrm{宽} × \mathrm{高} = 9 × 8 × 3 = 216 \mathrm{m}^3$，
由于新建的正方体池塘的容积与原长方体池塘的容积相等，设正方体的边长为 $a$，则：
$a^3 = 216$，
解得：
$a = \sqrt[3]{216} = 6 \mathrm{m}$，
新建的正方体池塘也有一面利用了现有的墙，因此待建的三面墙的总长度为正方体三边的和，即：
$\mathrm{总长度} = 3 × a = 3 × 6 = 18 \mathrm{m}$。
故待建的三面墙的总长度是 $18 \mathrm{m}$。
9. 若 $ a^{2}=(-5)^{2},b^{3}=(-5)^{3} $，则 $ a + b $ 的值为()。
A.$ 0 $
B.$ \pm 10 $
C.$ 0 $ 或 $ 10 $
D.$ 0 $ 或 $ -10 $
A.$ 0 $
B.$ \pm 10 $
C.$ 0 $ 或 $ 10 $
D.$ 0 $ 或 $ -10 $
答案
D
解析
根据题意，$a^{2}=(-5)^{2}=25$，因此 $a=5$ 或 $a=-5$。
$b^{3}=(-5)^{3}=-125$，因此 $b=-5$。
分情况计算 $a+b$：
当 $a=5$ 时，$a+b=5+(-5)=0$；
当 $a=-5$ 时，$a+b=-5+(-5)=-10$。
综上，$a+b$ 的值为 $0$ 或 $-10$。
10. (易错题)已知 $ 5a + 2 $ 的立方根是 $ 3 $，$ b^{2}=16 $，则$\sqrt{a - b}= $。
答案
1或3
解析
因为$5a + 2$的立方根是$3$，所以$5a + 2 = 3^3 = 27$，解得$5a = 25$，$a = 5$。因为$b^2 = 16$，所以$b = ±4$。当$b = 4$时，$\sqrt{a - b} = \sqrt{5 - 4} = 1$；当$b = -4$时，$\sqrt{a - b} = \sqrt{5 - (-4)} = \sqrt{9} = 3$。
11. 已知$\sqrt[3]{2.020}\approx1.264$，$\sqrt[3]{20.20}\approx2.723$，那么$\sqrt[3]{0.0202}\approx $。
答案
0.2723
解析
因为$0.0202 = 20.20÷1000$，所以$\sqrt[3]{0.0202}=\sqrt[3]{20.20÷1000}=\sqrt[3]{20.20}÷\sqrt[3]{1000}\approx2.723÷10 = 0.2723$
12. 若 $ 5x + 19 $ 的立方根是 $ 4 $，则 $ 2x + 7 $ 的平方根是。
答案
$\pm 5$
解析
因为$5x + 19$的立方根是$4$，所以$5x + 19 = 4^3 = 64$，解得$5x = 64 - 19 = 45$，$x = 9$。则$2x + 7 = 2×9 + 7 = 25$，$25$的平方根是$\pm 5$。
13. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1)$(x - 1)^{3}=125$； (2)$-8(x - 3)^{3}=27$。
(1)$(x - 1)^{3}=125$； (2)$-8(x - 3)^{3}=27$。
答案
(1)
已知$(x - 1)^{3}=125$，
因为$5^3 = 125$，根据立方根的定义，若$a^3=b$，则$a$是$b$的立方根，所以$x - 1=\sqrt[3]{125}=5$，
解得$x = 5 + 1=6$。
(2)
已知$-8(x - 3)^{3}=27$，
则$(x - 3)^{3}=-\frac{27}{8}$，
因为$(-\frac{3}{2})^3=-\frac{27}{8}$，根据立方根的定义，$x - 3=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$，
解得$x = 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
已知$(x - 1)^{3}=125$，
因为$5^3 = 125$，根据立方根的定义，若$a^3=b$，则$a$是$b$的立方根，所以$x - 1=\sqrt[3]{125}=5$，
解得$x = 5 + 1=6$。
(2)
已知$-8(x - 3)^{3}=27$，
则$(x - 3)^{3}=-\frac{27}{8}$，
因为$(-\frac{3}{2})^3=-\frac{27}{8}$，根据立方根的定义，$x - 3=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$，
解得$x = 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
14. 小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，水未溢出，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了 $ 1 \mathrm{ cm} $，小燕量得小水桶的直径为 $ 12 \mathrm{ cm} $，于是她就算出了铅球的半径。请你求出铅球的半径。(球的体积公式 $ V=\frac{4}{3}π r^{3} $，$ r $ 为球的半径)
答案
解：圆柱形水桶半径 $ R = \frac{12}{2} = 6 \, \mathrm{cm} $，水面下降高度 $ h = 1 \, \mathrm{cm} $。
下降部分水的体积 $ V_{\mathrm{水}} = π R^2 h = π × 6^2 × 1 = 36π \, \mathrm{cm}^3 $。
铅球体积 $ V_{\mathrm{球}} = V_{\mathrm{水}} = 36π \, \mathrm{cm}^3 $。
由球的体积公式 $ V_{\mathrm{球}} = \frac{4}{3}π r^3 $，得：
$\frac{4}{3}π r^3 = 36π$
两边同除以 $ π $：$ \frac{4}{3}r^3 = 36 $，
解得 $ r^3 = 27 $，则 $ r = \sqrt[3]{27} = 3 \, \mathrm{cm} $。
答：铅球的半径为 $ 3 \, \mathrm{cm} $。
下降部分水的体积 $ V_{\mathrm{水}} = π R^2 h = π × 6^2 × 1 = 36π \, \mathrm{cm}^3 $。
铅球体积 $ V_{\mathrm{球}} = V_{\mathrm{水}} = 36π \, \mathrm{cm}^3 $。
由球的体积公式 $ V_{\mathrm{球}} = \frac{4}{3}π r^3 $，得：
$\frac{4}{3}π r^3 = 36π$
两边同除以 $ π $：$ \frac{4}{3}r^3 = 36 $，
解得 $ r^3 = 27 $，则 $ r = \sqrt[3]{27} = 3 \, \mathrm{cm} $。
答：铅球的半径为 $ 3 \, \mathrm{cm} $。
15. (推理能力)观察下列等式：$\sqrt[3]{2\frac{2}{7}}=2\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$，$\sqrt[3]{3\frac{3}{26}}=3\sqrt[3]{\frac{3}{26}}$，$\sqrt[3]{4\frac{4}{63}}=4\sqrt[3]{\frac{4}{63}}$，$···$。
(1)请再举两个类似的例子；
(2)经过观察，写出满足上述各式规律的等式。(用 $ n $ 表示)
(1)请再举两个类似的例子；
(2)经过观察，写出满足上述各式规律的等式。(用 $ n $ 表示)
答案
(1) $\sqrt[3]{5\frac{5}{124}}=5\sqrt[3]{\frac{5}{124}}$，$\sqrt[3]{6\frac{6}{215}}=6\sqrt[3]{\frac{6}{215}}$；
(2) $\sqrt[3]{n\frac{n}{n^3 - 1}}=n\sqrt[3]{\frac{n}{n^3 - 1}}$（其中$n$为大于等于2的整数）。
(2) $\sqrt[3]{n\frac{n}{n^3 - 1}}=n\sqrt[3]{\frac{n}{n^3 - 1}}$（其中$n$为大于等于2的整数）。
