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8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$OB = OD$，$AB// CD$. 求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
答案
8.
∵AB//CD,
∴∠CDO=∠OBA. 在△CDO和△ABO中, {∠CDO=∠ABO, OD=OB, ∠AOB=∠COD,
∴△CDO≌△ABO.
∴AO=OC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形
∵AB//CD,
∴∠CDO=∠OBA. 在△CDO和△ABO中, {∠CDO=∠ABO, OD=OB, ∠AOB=∠COD,
∴△CDO≌△ABO.
∴AO=OC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形
解析
【分析】
要证明四边形$ABCD$是平行四边形，已知$OB=OD$，可考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，即需证明$OA=OC$。首先由$AB// CD$，根据平行线的性质可得内错角$∠ CDO=∠ OBA$，再结合已知$OB=OD$以及对顶角$∠ AOB=∠ COD$，可通过ASA证明$△ CDO≌△ ABO$，由全等三角形的性质即可得到$OA=OC$，进而证明四边形$ABCD$是平行四边形。
【解析】
证明：
∵ $ AB // CD $，
∴ $ ∠ CDO = ∠ OBA $（两直线平行，内错角相等）。
在$ △ CDO $和$ △ ABO $中，
$\begin{cases}∠ CDO = ∠ ABO \\OD = OB \\∠ COD = ∠ AOB\end{cases}$
∴ $ △ CDO ≌ △ ABO $（ASA）。
∴ $ AO = OC $（全等三角形的对应边相等）。
又
∵ $ OB = OD $，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$ ABCD $是平行四边形
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平行四边形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，主要考查平行四边形的判定，通过平行线性质得到角相等，结合已知条件证明三角形全等，进而推导出对角线互相平分，最终利用平行四边形的判定定理完成证明，需要熟练掌握相关定理的综合应用。
【难度系数】
0.8
要证明四边形$ABCD$是平行四边形，已知$OB=OD$，可考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，即需证明$OA=OC$。首先由$AB// CD$，根据平行线的性质可得内错角$∠ CDO=∠ OBA$，再结合已知$OB=OD$以及对顶角$∠ AOB=∠ COD$，可通过ASA证明$△ CDO≌△ ABO$，由全等三角形的性质即可得到$OA=OC$，进而证明四边形$ABCD$是平行四边形。
【解析】
证明：
∵ $ AB // CD $，
∴ $ ∠ CDO = ∠ OBA $（两直线平行，内错角相等）。
在$ △ CDO $和$ △ ABO $中，
$\begin{cases}∠ CDO = ∠ ABO \\OD = OB \\∠ COD = ∠ AOB\end{cases}$
∴ $ △ CDO ≌ △ ABO $（ASA）。
∴ $ AO = OC $（全等三角形的对应边相等）。
又
∵ $ OB = OD $，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$ ABCD $是平行四边形
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平行四边形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，主要考查平行四边形的判定，通过平行线性质得到角相等，结合已知条件证明三角形全等，进而推导出对角线互相平分，最终利用平行四边形的判定定理完成证明，需要熟练掌握相关定理的综合应用。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$□ ABCD$ 中，$O$ 是对角线 $AC$ 的中点，$EF$ 过点 $O$，与 $AD$，$BC$ 分别交于点 $E$，$F$，$GH$ 过点 $O$，与 $AB$，$CD$ 分别交于点 $G$，$H$. 连接 $EG$，$FG$，$FH$，$EH$. 求证：四边形 $EGFH$ 是平行四边形.
答案
9.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC.
∴∠EAO=∠OCF. 在△AOE 和△COF 中, {∠AOE=∠COF, AO=OC, ∠EAO=∠OCF,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF. 同理, 可证△AOG≌△COH.
∴GO=OH.
∴四边形 EGFH 是平行四边形
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC.
∴∠EAO=∠OCF. 在△AOE 和△COF 中, {∠AOE=∠COF, AO=OC, ∠EAO=∠OCF,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF. 同理, 可证△AOG≌△COH.
∴GO=OH.
∴四边形 EGFH 是平行四边形
解析
【分析】
要证明四边形EGFH是平行四边形，根据平行四边形的判定定理，若四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，因此需证明$OE=OF$，$GO=OH$。首先利用平行四边形$ABCD$的性质，$AD// BC$可得内错角$∠ EAO=∠ OCF$，结合$O$是$AC$中点（$AO=OC$），对顶角$∠ AOE=∠ COF$，通过ASA证明$△ AOE≌△ COF$，得到$OE=OF$；同理，利用$AB// CD$的性质证明$△ AOG≌△ COH$，得到$GO=OH$，进而根据判定定理得出结论。
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ EAO=∠ OCF$。
∵$O$是$AC$的中点，
∴$AO=OC$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ OCF \\AO=OC \\∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$OE=OF$。
同理可证：$△ AOG≌△ COH$，
∴$GO=OH$。
∵四边形$EGFH$的对角线互相平分（$OE=OF$，$GO=OH$），
∴四边形$EGFH$是平行四边形。
【答案】
四边形$EGFH$是平行四边形
【知识点】
1. 平行四边形的性质与判定
2. 全等三角形的判定（ASA）
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质与判定、全等三角形判定的综合应用。解题关键是借助平行四边形的性质得到角相等的条件，结合中点证明三角形全等，从而推导出对角线互相平分，最终判定平行四边形，需熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.8
要证明四边形EGFH是平行四边形，根据平行四边形的判定定理，若四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，因此需证明$OE=OF$，$GO=OH$。首先利用平行四边形$ABCD$的性质，$AD// BC$可得内错角$∠ EAO=∠ OCF$，结合$O$是$AC$中点（$AO=OC$），对顶角$∠ AOE=∠ COF$，通过ASA证明$△ AOE≌△ COF$，得到$OE=OF$；同理，利用$AB// CD$的性质证明$△ AOG≌△ COH$，得到$GO=OH$，进而根据判定定理得出结论。
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ EAO=∠ OCF$。
∵$O$是$AC$的中点，
∴$AO=OC$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ OCF \\AO=OC \\∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$OE=OF$。
同理可证：$△ AOG≌△ COH$，
∴$GO=OH$。
∵四边形$EGFH$的对角线互相平分（$OE=OF$，$GO=OH$），
∴四边形$EGFH$是平行四边形。
【答案】
四边形$EGFH$是平行四边形
【知识点】
1. 平行四边形的性质与判定
2. 全等三角形的判定（ASA）
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质与判定、全等三角形判定的综合应用。解题关键是借助平行四边形的性质得到角相等的条件，结合中点证明三角形全等，从而推导出对角线互相平分，最终判定平行四边形，需熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.8
10. 小明在研究平行四边形的判定时提出问题：“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗?” 他的研究过程如下：如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = CD$，$∠ B=∠ D$. 连接 $AC$，要证四边形 $ABCD$ 是平行四边形，只要证明$△ ABC≌△ CDA$. 小明发现$△ ABC$ 与$△ CDA$ 不一定全等.
（1）请画出小明找寻出的反例（画图工具不限，标注相应的数量关系）.
（2）请你探究下列命题的真假：一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.
（1）请画出小明找寻出的反例（画图工具不限，标注相应的数量关系）.
（2）请你探究下列命题的真假：一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.
答案
10. (1) 反例如图①所示 (其中 AB=CD, ∠B=∠D) (2) 假命题. 反例如图②所示 (在该四边形中, AB=CD, OB=OD)
解析
【分析】
(1) 要构造“一组对边相等，一组对角相等但不是平行四边形”的四边形，可利用SSA不能判定三角形全等的原理：先画△ABC，再以C为圆心、AB长为半径画弧，在AC另一侧找到点D，使∠D=∠B，此时AB=CD，∠B=∠D，但△ABC与△CDA不全等，四边形ABCD不是平行四边形。
(2) 探究命题真假时，若能构造出满足条件但不是平行四边形的四边形，则为假命题。可构造两条对角线交于O，使OB=OD，AB=CD，但AB与CD不平行，此时四边形满足条件但不是平行四边形。
【解析】
(1) 反例绘制步骤：
① 画△ABC，标注AB的长度；
② 作∠D=∠B，以点C为圆心，AB长为半径画弧，交∠D的一边于点D（确保D不在△ABC关于AC的对称位置）；
③ 连接AD、CD，得到四边形ABCD，标注AB=CD，∠B=∠D，该四边形不是平行四边形。
(2) 该命题是假命题，反例绘制步骤：
① 画两条相交线段AC、BD，交点为O，使OB=OD；
② 在AC两侧分别取点A、C，连接AB、CD，使AB=CD，且AB与CD不平行；
③ 标注AB=CD，OB=OD，此时四边形ABCD满足“一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分”，但不是平行四边形。
【答案】
(1) 画出符合条件的反例（标注AB=CD，∠B=∠D，示例参考参考答案中的图①）；
(2) 假命题，画出符合条件的反例（标注AB=CD，OB=OD，示例参考参考答案中的图②）。
【知识点】
平行四边形的判定，全等三角形判定（SSA局限性），假命题构造
【点评】
本题通过构造反例，考查对平行四边形判定定理的深刻理解，明确平行四边形的判定需要严格的条件，同时帮助学生认识到SSA不能判定三角形全等，提升空间想象与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要构造“一组对边相等，一组对角相等但不是平行四边形”的四边形，可利用SSA不能判定三角形全等的原理：先画△ABC，再以C为圆心、AB长为半径画弧，在AC另一侧找到点D，使∠D=∠B，此时AB=CD，∠B=∠D，但△ABC与△CDA不全等，四边形ABCD不是平行四边形。
(2) 探究命题真假时，若能构造出满足条件但不是平行四边形的四边形，则为假命题。可构造两条对角线交于O，使OB=OD，AB=CD，但AB与CD不平行，此时四边形满足条件但不是平行四边形。
【解析】
(1) 反例绘制步骤：
① 画△ABC，标注AB的长度；
② 作∠D=∠B，以点C为圆心，AB长为半径画弧，交∠D的一边于点D（确保D不在△ABC关于AC的对称位置）；
③ 连接AD、CD，得到四边形ABCD，标注AB=CD，∠B=∠D，该四边形不是平行四边形。
(2) 该命题是假命题，反例绘制步骤：
① 画两条相交线段AC、BD，交点为O，使OB=OD；
② 在AC两侧分别取点A、C，连接AB、CD，使AB=CD，且AB与CD不平行；
③ 标注AB=CD，OB=OD，此时四边形ABCD满足“一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分”，但不是平行四边形。
【答案】
(1) 画出符合条件的反例（标注AB=CD，∠B=∠D，示例参考参考答案中的图①）；
(2) 假命题，画出符合条件的反例（标注AB=CD，OB=OD，示例参考参考答案中的图②）。
【知识点】
平行四边形的判定，全等三角形判定（SSA局限性），假命题构造
【点评】
本题通过构造反例，考查对平行四边形判定定理的深刻理解，明确平行四边形的判定需要严格的条件，同时帮助学生认识到SSA不能判定三角形全等，提升空间想象与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
