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10. 把下列各式分解因式：
(1)$x^{2}(y^{2} - 1) + 2x(y^{2} - 1) + (y^{2} - 1)$；
(2)$a^{5} - \frac{1}{2}a^{3}b^{2} + \frac{1}{16}ab^{4}$；
(3)$5a(x^{2} + 1)^{2} - 20ax^{2}$；
(4)$8(x + 2y)^{2} - (x + 2y)^{4} - 16$。
(1)$x^{2}(y^{2} - 1) + 2x(y^{2} - 1) + (y^{2} - 1)$；
(2)$a^{5} - \frac{1}{2}a^{3}b^{2} + \frac{1}{16}ab^{4}$；
(3)$5a(x^{2} + 1)^{2} - 20ax^{2}$；
(4)$8(x + 2y)^{2} - (x + 2y)^{4} - 16$。
答案
10. (1) $(y + 1)(y - 1)(x + 1)^2$ (2) $a(a + \frac{1}{2}b)^2(a - \frac{1}{2}b)^2$ (3) $5a(x + 1)^2(x - 1)^2$ (4) $-(x + 2y + 2)^2(x + 2y - 2)^2$
解析
【解析】
(1) 先提取公因式$(y^2 - 1)$，再运用完全平方公式和平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=(y^2 - 1)(x^2 + 2x + 1)\\&=(y+1)(y-1)(x+1)^2\end{aligned}$
(2) 先提取公因式$a$，再运用完全平方公式和平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=a(a^4 - \frac{1}{2}a^2b^2 + \frac{1}{16}b^4)\\&=a(a^2 - \frac{1}{4}b^2)^2\\&=a(a + \frac{1}{2}b)^2(a - \frac{1}{2}b)^2\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$5a$，再运用平方差公式和完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=5a[(x^2 + 1)^2 - 4x^2]\\&=5a[(x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x)]\\&=5a(x+1)^2(x-1)^2\end{aligned}$
(4) 设$m=x+2y$，先运用完全平方公式，再运用平方差公式分解，最后代回：
$\begin{aligned}原式&=8m^2 - m^4 - 16\\&=-(m^4 - 8m^2 + 16)\\&=-(m^2 - 4)^2\\&=-(m+2)^2(m-2)^2\\&=-(x+2y+2)^2(x+2y-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(y + 1)(y - 1)(x + 1)^2}$；
(2) $\boldsymbol{a(a + \frac{1}{2}b)^2(a - \frac{1}{2}b)^2}$；
(3) $\boldsymbol{5a(x + 1)^2(x - 1)^2}$；
(4) $\boldsymbol{-(x + 2y + 2)^2(x + 2y - 2)^2}$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，需先观察式子特点提取公因式，再多次运用完全平方公式、平方差公式进行分解，注意整体思想的运用，分解要彻底，直到不能再分解为止。
【难度系数】
0.4
(1) 先提取公因式$(y^2 - 1)$，再运用完全平方公式和平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=(y^2 - 1)(x^2 + 2x + 1)\\&=(y+1)(y-1)(x+1)^2\end{aligned}$
(2) 先提取公因式$a$，再运用完全平方公式和平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=a(a^4 - \frac{1}{2}a^2b^2 + \frac{1}{16}b^4)\\&=a(a^2 - \frac{1}{4}b^2)^2\\&=a(a + \frac{1}{2}b)^2(a - \frac{1}{2}b)^2\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$5a$，再运用平方差公式和完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=5a[(x^2 + 1)^2 - 4x^2]\\&=5a[(x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x)]\\&=5a(x+1)^2(x-1)^2\end{aligned}$
(4) 设$m=x+2y$，先运用完全平方公式，再运用平方差公式分解，最后代回：
$\begin{aligned}原式&=8m^2 - m^4 - 16\\&=-(m^4 - 8m^2 + 16)\\&=-(m^2 - 4)^2\\&=-(m+2)^2(m-2)^2\\&=-(x+2y+2)^2(x+2y-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(y + 1)(y - 1)(x + 1)^2}$；
(2) $\boldsymbol{a(a + \frac{1}{2}b)^2(a - \frac{1}{2}b)^2}$；
(3) $\boldsymbol{5a(x + 1)^2(x - 1)^2}$；
(4) $\boldsymbol{-(x + 2y + 2)^2(x + 2y - 2)^2}$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，需先观察式子特点提取公因式，再多次运用完全平方公式、平方差公式进行分解，注意整体思想的运用，分解要彻底，直到不能再分解为止。
【难度系数】
0.4
1. 阅读下列材料，回答问题。
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等。
(1)若多项式 $x^{2} - 4x + k$ 是一个完全平方式，则常数 $k =$
(2)已知代数式 $x^{2} - 6x + 11$，用配方法说明，不论 $x$ 取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当 $x$ 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等。
(1)若多项式 $x^{2} - 4x + k$ 是一个完全平方式，则常数 $k =$
4
。(2)已知代数式 $x^{2} - 6x + 11$，用配方法说明，不论 $x$ 取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当 $x$ 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
答案
1. (1) 4 (2) $\because x^2 - 6x + 11 = x^2 - 6x + 9 - 9 + 11 = (x - 3)^2 + 2 ≥ 2$，$\therefore$ 当 $x = 3$ 时，$x^2 - 6x + 11$ 的最小值是 2
解析
【解析】
(1) 对于完全平方式$x^2 - 4x + k$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，其中$a=x$，$2ab=4x$，可得$b=2$，则$k=b^2=2^2=4$。
(2) 对代数式$x^2 - 6x + 11$进行配方：
$x^2 - 6x + 11 = x^2 - 6x + 9 - 9 + 11 = (x - 3)^2 + 2$，
因为任何实数的平方都是非负数，即$(x - 3)^2 ≥ 0$，所以$(x - 3)^2 + 2 ≥ 2$，因此不论$x$取何值，该代数式的值总是正数；
当$(x - 3)^2=0$时，即$x=3$，代数式的值最小，最小值为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 不论$x$取何值，代数式$x^2 - 6x + 11$的值总是正数；当$\boldsymbol{x=3}$时，代数式的值最小，最小值是$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
完全平方式、配方法、代数式最值
【点评】
本题考查配方法的综合应用，需掌握完全平方式的特征，熟练运用配方法变形代数式，体会数学转化思想在解题中的作用。
【难度系数】
0.7
(1) 对于完全平方式$x^2 - 4x + k$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，其中$a=x$，$2ab=4x$，可得$b=2$，则$k=b^2=2^2=4$。
(2) 对代数式$x^2 - 6x + 11$进行配方：
$x^2 - 6x + 11 = x^2 - 6x + 9 - 9 + 11 = (x - 3)^2 + 2$，
因为任何实数的平方都是非负数，即$(x - 3)^2 ≥ 0$，所以$(x - 3)^2 + 2 ≥ 2$，因此不论$x$取何值，该代数式的值总是正数；
当$(x - 3)^2=0$时，即$x=3$，代数式的值最小，最小值为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 不论$x$取何值，代数式$x^2 - 6x + 11$的值总是正数；当$\boldsymbol{x=3}$时，代数式的值最小，最小值是$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
完全平方式、配方法、代数式最值
【点评】
本题考查配方法的综合应用，需掌握完全平方式的特征，熟练运用配方法变形代数式，体会数学转化思想在解题中的作用。
【难度系数】
0.7
2. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4x + 2)(x^{2} - 4x + 6) + 4$ 进行因式分解的过程。
解：设 $x^{2} - 4x = y$。
原式 $= (y + 2)(y + 6) + 4$ ………………………… 第一步
$= y^{2} + 8y + 16$ …………………………………… 第二步
$= (y + 4)^{2}$ ………………………………………… 第三步
$= (x^{2} - 4x + 4)^{2}$ ……………………………… 第四步
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2x)(x^{2} - 2x + 2) + 1$ 进行因式分解。
解：设 $x^{2} - 4x = y$。
原式 $= (y + 2)(y + 6) + 4$ ………………………… 第一步
$= y^{2} + 8y + 16$ …………………………………… 第二步
$= (y + 4)^{2}$ ………………………………………… 第三步
$= (x^{2} - 4x + 4)^{2}$ ……………………………… 第四步
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的
C
。A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？
不彻底
(填“彻底”或“不彻底”)。若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：$(x - 2)^4$
。(3)请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2x)(x^{2} - 2x + 2) + 1$ 进行因式分解。
答案
2. (1) C (2) 不彻底 $(x - 2)^4$ (3) 设 $x^2 - 2x = y$，则原式 $= y(y + 2) + 1 = y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1)^2 = (x - 1)^4$
解析
【解析】
(1) 第二步得到$y^2+8y+16$，第三步将其变形为$(y+4)^2$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，因此运用了完全平方公式，选C。
(2) 该同学第四步的结果为$(x^2 - 4x + 4)^2$，其中$x^2 - 4x + 4$还可分解为$(x-2)^2$，所以因式分解不彻底，最后结果为$(x - 2)^4$。
(3) 模仿换元法：设$x^2 - 2x = y$，将原式转化为关于$y$的多项式，展开后利用完全平方公式分解，再将$y$回代，最后继续分解彻底得到结果。
【答案】
(1) C
(2) 不彻底；$(x - 2)^4$
(3) 设$x^2 - 2x = y$，则原式$= y(y + 2) + 1 = y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1)^2 = (x - 1)^4$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的方法与应用，重点考查换元法和完全平方公式的运用，强调因式分解需分解到每一个因式都不能再分解为止，培养整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.6
(1) 第二步得到$y^2+8y+16$，第三步将其变形为$(y+4)^2$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，因此运用了完全平方公式，选C。
(2) 该同学第四步的结果为$(x^2 - 4x + 4)^2$，其中$x^2 - 4x + 4$还可分解为$(x-2)^2$，所以因式分解不彻底，最后结果为$(x - 2)^4$。
(3) 模仿换元法：设$x^2 - 2x = y$，将原式转化为关于$y$的多项式，展开后利用完全平方公式分解，再将$y$回代，最后继续分解彻底得到结果。
【答案】
(1) C
(2) 不彻底；$(x - 2)^4$
(3) 设$x^2 - 2x = y$，则原式$= y(y + 2) + 1 = y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1)^2 = (x - 1)^4$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的方法与应用，重点考查换元法和完全平方公式的运用，强调因式分解需分解到每一个因式都不能再分解为止，培养整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.6
