例 1 计算：
（1）$(y^{2})^{3} · (-y)^{2}$；（2）$4(x^{2})^{6}-(-x^{3})^{4}$.

（1）
$(y^{2})^{3} · (-y)^{2}$
$=y^{2×3} · y^{2}$
$=y^{6} · y^{2}$
$=y^{6+2}$
$=y^{8}$
（2）
$4(x^{2})^{6}-(-x^{3})^{4}$
$=4x^{2×6}-x^{3×4}$
$=4x^{12}-x^{12}$
$=3x^{12}$

【分析】
这两道题是幂的运算综合题，需遵循幂的运算优先级：先算幂的乘方，再进行同底数幂的乘法或合并同类项。
对于（1）：先利用幂的乘方法则计算$(y^2)^3$，再利用积的乘方法则处理$(-y)^2$，将其转化为同底数幂后，根据同底数幂的乘法法则计算。
对于（2）：先分别计算两个幂的乘方，注意$(-x^3)^4$的符号（负数的偶次幂为正），最后合并同类项得到结果。
【解析】
（1）
$(y^{2})^{3} · (-y)^{2}$
$=y^{2×3} · y^{2}$（幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$；积的乘方法则：$(-y)^2=y^2$）
$=y^{6} · y^{2}$
$=y^{6+2}$（同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$）
$=y^{8}$
（2）
$4(x^{2})^{6}-(-x^{3})^{4}$
$=4x^{2×6}-x^{3×4}$（幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，负数的偶次幂为正）
$=4x^{12}-x^{12}$
$=3x^{12}$（合并同类项）
【答案】
（1）$\boldsymbol{y^{8}}$；（2）$\boldsymbol{3x^{12}}$
【知识点】
幂的乘方法则、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，同时要注意符号处理，运算需遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序。
【难度系数】
0.8

例 2 已知 $a^{m}=4$，$a^{n}=8$（$m$，$n$ 是正整数），求 $a^{2m + n}$ 的值.

由题意知$a^{m}=4$，$a^{n}=8$。
根据同底数幂的乘法法则，有：
$a^{2m + n} = a^{2m} · a^{n}$
根据幂的乘方法则，有：
$a^{2m} = (a^{m})^{2}$
代入$a^{m}=4$，得：
$a^{2m} = 4^{2} = 16$
最后，将$a^{2m}=16$和$a^{n}=8$代入$a^{2m + n} = a^{2m} · a^{n}$，得：
$a^{2m + n} = 16 × 8 = 128$
故$a^{2m + n} = 128$。

【分析】
要计算$a^{2m + n}$的值，已知$a^m$和$a^n$的值，我们可以利用幂的运算法则将目标式子转化为含$a^m$和$a^n$的形式。首先根据同底数幂的乘法法则，把$a^{2m+n}$拆成$a^{2m}·a^n$；再根据幂的乘方法则，把$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$，这样就能代入已知的$a^m=4$求出$a^{2m}$的值，最后将$a^{2m}$和$a^n$的值代入相乘即可得到结果。
【解析】
已知$a^{m}=4$，$a^{n}=8$。
根据同底数幂的乘法法则：$a^{x+y}=a^x·a^y$，可得：
$a^{2m + n} = a^{2m} · a^{n}$
根据幂的乘方法则：$a^{xy}=(a^x)^y$，可得：
$a^{2m} = (a^{m})^{2}$
将$a^{m}=4$代入上式，得：
$a^{2m} = 4^{2} = 16$
将$a^{2m}=16$和$a^{n}=8$代入$a^{2m + n} = a^{2m} · a^{n}$，得：
$a^{2m + n} = 16 × 8 = 128$
【答案】
128
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的灵活运用，需要熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，通过逆用法则将待求式转化为已知条件相关的形式，进而代入计算，属于基础运算题。
【难度系数】
0.8

1. 填空题：
(1)幂的乘方运算性质：幂的乘方，底数，指数；
(2)$(a^{2})^{3}=$；(3)$(a^{3})^{( )}=a^{12}$；
(4)$[a^{( )}]^{2}=a^{12}$；(5)$(a^{3})^{4}=a^{2} · a^{( )}$；
(6)$(a^{4})^{3}=[a^{( )}]^{4}$.

(1)不变；相乘；(2)$a^{6}$；(3)$4$；(4)$6$；(5)$10$；(6)$3$

(1)幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(2)根据幂的乘方运算性质$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，对于$(a^{2})^{3}$，其中$m = 2$，$n = 3$，则$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$。
(3)设括号里的数为$x$，根据幂的乘方运算性质$(a^{3})^{x}=a^{3x}$，已知$(a^{3})^{x}=a^{12}$，则$3x = 12$，解得$x = 4$。
(4)设括号里的数为$y$，根据幂的乘方运算性质$(a^{y})^{2}=a^{2y}$，已知$(a^{y})^{2}=a^{12}$，则$2y = 12$，解得$y = 6$。
(5)先根据幂的乘方运算性质计算$(a^{3})^{4}=a^{3×4}=a^{12}$，设括号里的数为$z$，则$a^{2}· a^{z}=a^{2 + z}$，已知$a^{2}· a^{z}=a^{12}$，所以$2+z = 12$，解得$z = 10$。
(6)先根据幂的乘方运算性质计算$(a^{4})^{3}=a^{4×3}=a^{12}$，设括号里的数为$m$，则$(a^{m})^{4}=a^{4m}$，已知$(a^{m})^{4}=a^{12}$，则$4m = 12$，解得$m = 3$。

2. 选择题：
(1)计算 $(b^{5})^{2}$，结果是().
A. $b^{3}$ B. $b^{7}$ C. $b^{10}$ D. $b^{25}$
(2)计算 $[(-b)^{2}]^{3}$，结果是().
A. $-b^{5}$ B. $b^{5}$ C. $-b^{6}$ D. $b^{6}$
(3)计算 $(-b^{2})^{3}$，结果是().
A. $-b^{5}$ B. $b^{5}$ C. $-b^{6}$ D. $b^{6}$
(4)下列计算中，正确的是().
A. $b + b^{3}=b^{4}$ B. $b^{2} · b^{5}=b^{10}$ C. $(b^{4})^{2}=b^{8}$ D. $b^{2}+b^{2}=b^{4}$

(1)C；(2)D；(3)C；(4)C。

(1) 根据幂的乘方运算法则 $(a^m)^n = a^{m × n}$，计算 $(b^5)^2$：
$(b^5)^2 = b^{5 × 2} = b^{10}$，
故选C。
(2) 根据幂的乘方运算法则，先计算内层的平方，再计算外层的立方：
$[(-b)^2]^3 = (b^2)^3 = b^{2 × 3} = b^6$，
故选D。
(3) 根据积的乘方运算法则，$(-b^2)^3 = - (b^2)^3 = -b^{2 × 3} = -b^6$，
故选C。
(4) 逐一检验选项：
A. $b + b^3$ 不能合并，故错误；
B. $b^2 · b^5 = b^{2+5} = b^7$，与选项不符，故错误；
C. $(b^4)^2 = b^{4 × 2} = b^8$，与选项相符，故正确；
D. $b^2 + b^2 = 2b^2$，与选项不符，故错误。
故选C。