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11. 若$a + b + 1 = 0$，则$3a^2 + 3b^2 + 6ab$的值是
3
。答案
11. 3
12. 当$x =$
5
时，多项式$x^2 - 10x + 25$取得最小值。答案
12. 5
13. 利用因式分解计算：
(1)$200^2 - 400×199 + 199^2$；
(2)$5×101^2 - 5×202 + 5$。
(1)$200^2 - 400×199 + 199^2$；
(2)$5×101^2 - 5×202 + 5$。
答案
13. 解: (1) $ 200^{2} - 400 × 199 + 199^{2} = (200 - 199)^{2} = 1^{2} = 1 $。
(2) $ 5 × 101^{2} - 5 × 202 + 5 = 5 × (101^{2} - 202 + 1) = 5 × (101 - 1)^{2} = 5 × 100^{2} = 50000 $。
(2) $ 5 × 101^{2} - 5 × 202 + 5 = 5 × (101^{2} - 202 + 1) = 5 × (101 - 1)^{2} = 5 × 100^{2} = 50000 $。
14. 已知$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三边长，且满足$a^2 + c^2 = 2b(a - b + c)$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
14. 解: $ △ ABC $ 是等边三角形。理由如下:
$ \because a^{2} + c^{2} = 2 b(a - b + c) $,
$ \therefore a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b c + c^{2} = 0 $,
$ \therefore (a - b)^{2} + (b - c)^{2} = 0 $, $ \therefore a = b $, $ b = c $,
$ \therefore a = b = c $, $ \therefore △ ABC $ 是等边三角形。
$ \because a^{2} + c^{2} = 2 b(a - b + c) $,
$ \therefore a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b c + c^{2} = 0 $,
$ \therefore (a - b)^{2} + (b - c)^{2} = 0 $, $ \therefore a = b $, $ b = c $,
$ \therefore a = b = c $, $ \therefore △ ABC $ 是等边三角形。
15. 【综合与实践】【操作探究】
(1)如图①，利用1个边长为$a$的正方形，1个边长为$b$的正方形和2个长为$a$、宽为$b$的长方形可拼成一个正方形，从而可得到因式分解的公式：
【类比探究】
(2)如图②，将一个大正方形分成9个部分，通过计算大正方形的面积，我们可以得到一个有关多项式因式分解的恒等式：
【解决问题】
(3)已知长方形的周长为14 cm，它的两邻边长分别为$x$ cm，$y$ cm，且满足$(x - y)^2 - 2x + 2y + 1 = 0$，求该长方形的面积。
(1)如图①，利用1个边长为$a$的正方形，1个边长为$b$的正方形和2个长为$a$、宽为$b$的长方形可拼成一个正方形，从而可得到因式分解的公式：
$ a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2} $
。【类比探究】
(2)如图②，将一个大正方形分成9个部分，通过计算大正方形的面积，我们可以得到一个有关多项式因式分解的恒等式：
$ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c = (a + b + c)^{2} $
。【解决问题】
(3)已知长方形的周长为14 cm，它的两邻边长分别为$x$ cm，$y$ cm，且满足$(x - y)^2 - 2x + 2y + 1 = 0$，求该长方形的面积。
答案
15. (1) $ a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2} $
(2) $ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c = (a + b + c)^{2} $
(3) 解: $ \because $ 长方形的周长为 14 cm, 它的两邻边长分别为 $ x $ cm, $ y $ cm,
$ \therefore 2(x + y) = 14 $, $ \therefore x + y = 7 $。①
$ \because (x - y)^{2} - 2 x + 2 y + 1 = 0 $,
$ \therefore (x - y)^{2} - 2(x - y) + 1 = 0 $, $ \therefore (x - y - 1)^{2} = 0 $,
$ \therefore x - y = 1 $。②
联立①②, 得 $ \begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = 3。 \end{cases} $
$ \therefore $ 该长方形的面积为 $ 4 × 3 = 12(cm^{2}) $。
(2) $ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c = (a + b + c)^{2} $
(3) 解: $ \because $ 长方形的周长为 14 cm, 它的两邻边长分别为 $ x $ cm, $ y $ cm,
$ \therefore 2(x + y) = 14 $, $ \therefore x + y = 7 $。①
$ \because (x - y)^{2} - 2 x + 2 y + 1 = 0 $,
$ \therefore (x - y)^{2} - 2(x - y) + 1 = 0 $, $ \therefore (x - y - 1)^{2} = 0 $,
$ \therefore x - y = 1 $。②
联立①②, 得 $ \begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = 3。 \end{cases} $
$ \therefore $ 该长方形的面积为 $ 4 × 3 = 12(cm^{2}) $。
