1. 如图，在$△ ABC$中，$CD$是中线，$AE⊥ CD$，垂足为$E$，若$AC = 10$，$CD = 11$，$BC = 2\sqrt{58}$.
(1)求$DE$的长.
(2)求$AB$的长.

解：(1) 过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于F。
∵ CD是中线，∴ AD=BD。
∵ AE⊥CD，BF⊥CD，∴ ∠AED=∠BFD=90°。
在△AED和△BFD中：
$\{\begin{array}{l}∠AED=∠BFD \\∠ADE=∠BDF \\AD=BD\end{array} $
∴ △AED≌△BFD(AAS)，∴ AE=BF，DE=DF。
设DE=x，则DF=x，CE=CD-DE=11-x，CF=CD+DF=11+x。
在Rt△ACE中，$AE^2=AC^2-CE^2=10^2-(11-x)^2$，
在Rt△BCF中，$BF^2=BC^2-CF^2=(2\sqrt{58})^2-(11+x)^2$。
∵ AE=BF，∴ $10^2-(11-x)^2=(2\sqrt{58})^2-(11+x)^2$，
展开得：$100-(121-22x+x^2)=232-(121+22x+x^2)$，
化简得：$-21+22x=111-22x$，
解得：$x=3$，即DE=3。
(2) 在Rt△ACE中，$CE=11-3=8$，
$AE^2=AC^2-CE^2=10^2-8^2=36$，∴ AE=6。
在Rt△ADE中，$AD=\sqrt{DE^2+AE^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$，
∵ CD是中线，∴ AB=2AD=6√5。

2. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$D$是$AB$的中点，$E$，$F$分别是边$BC$，$AC$上的点，$ED⊥ DF$.求证$BE^{2} + AF^{2} = CE^{2} + CF^{2}$.

证明：
延长ED到点G，使DG=ED，连接AG、FG。
∵ D是AB的中点，
∴ BD=AD。
在△BED和△AGD中，
$\{\begin{array}{l}ED=DG \\∠BDE=∠ADG \\BD=AD\end{array} $
∴ △BED≌△AGD（SAS）。
∴ BE=AG，∠B=∠DAG。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠B+∠BAC=90°，
∴ ∠DAG+∠BAC=90°，即∠FAG=90°。
在Rt△FAG中，由勾股定理得：$AG^{2}+AF^{2}=FG^{2}$，
∴ $BE^{2}+AF^{2}=FG^{2}$。
∵ ED⊥DF，ED=DG，
∴ DF是EG的垂直平分线，
∴ FG=EF。
在Rt△CEF中，由勾股定理得：$CE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$，
∴ $BE^{2}+AF^{2}=CE^{2}+CF^{2}$。

3. 如图，$△ ACB$和$△ ECD$都是等腰直角三角形，$CA = CB$，$CE = CD$，$△ ACB$的顶点$A$在$△ ECD$的斜边$DE$上.求证$AE^{2} + AD^{2} = 2AC^{2}$.

证明：
连接$BD$，
$\because △ ACB$和$△ ECD$都是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ ECD = ∠ ACB = 90°$，$CE = CD$，$CA = CB$，
$\therefore ∠ ECD - ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ ACD$，即$∠ ACE = ∠ BCD$。
在$△ ACE$和$△ BCD$中，
$\begin{cases}CE = CD \\∠ ACE = ∠ BCD \\CA = CB\end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ BCD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE = BD$，$∠ E = ∠ CDB$。
$\because △ ECD$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ E = ∠ CDE = 45°$，
$\therefore ∠ CDB = 45°$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ CDE + ∠ CDB = 45° + 45° = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
$\because AE = BD$，
$\therefore AD^2 + AE^2 = AB^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$CA = CB$，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2AC^2$，
$\therefore AE^2 + AD^2 = 2AC^2$。