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10. 提升题 在等边三角形 $ABC$ 中，$D$，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$BC$，$AC$ 的中点。连接 $EF$，$DF$。
(1) 如图①，求证：四边形 $DBEF$ 为菱形；
(2) 如图②，若点 $G$，$H$ 分别在边 $EF$，$DF$ 上，且满足 $EG = FG = 4$，$∠ DHB = 2∠ GBE$，求 $FH$ 的长。
(1) 如图①，求证：四边形 $DBEF$ 为菱形；
(2) 如图②，若点 $G$，$H$ 分别在边 $EF$，$DF$ 上，且满足 $EG = FG = 4$，$∠ DHB = 2∠ GBE$，求 $FH$ 的长。
答案
(1) 见证明；(2) 0
解析
(1) 证明：∵D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线。∴DF//BC，DF=1/2BC；EF//AB，EF=1/2AB。∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC。∴DF=1/2BC=1/2AB=EF，且DF//BE（BE是BC的一部分），EF//DB（DB是AB的一部分）。∴四边形DBEF是平行四边形。又∵DB=1/2AB，BE=1/2BC，AB=BC，∴DB=BE。∴平行四边形DBEF是菱形。
(2) 解：∵EG=FG=4，∴EF=EG+FG=8。由(1)知四边形DBEF是菱形，∴DB=BE=EF=FD=8，EF//AB。∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，EF//AB，∴∠BEG=∠ABC=60°。在△BEG中，BE=8，EG=4，∠BEG=60°，由余弦定理得BG²=BE²+EG²-2·BE·EG·cos60°=8²+4²-2×8×4×1/2=48，∴BG=4√3。由正弦定理得EG/sin∠GBE=BE/sin∠BGE，即4/sin∠GBE=8/sin(180°-60°-∠GBE)，化简得sin(120°-∠GBE)=2sin∠GBE，解得∠GBE=30°。∴∠DHB=2∠GBE=60°。∵DF//BC，∴∠HDB=∠DBE=60°（内错角）。在△DHB中，∠HDB=60°，∠DHB=60°，∴∠DBH=60°，△DHB是等边三角形，∴DH=DB=8。∵FD=8，∴FH=FD-DH=8-8=0。
(2) 解：∵EG=FG=4，∴EF=EG+FG=8。由(1)知四边形DBEF是菱形，∴DB=BE=EF=FD=8，EF//AB。∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，EF//AB，∴∠BEG=∠ABC=60°。在△BEG中，BE=8，EG=4，∠BEG=60°，由余弦定理得BG²=BE²+EG²-2·BE·EG·cos60°=8²+4²-2×8×4×1/2=48，∴BG=4√3。由正弦定理得EG/sin∠GBE=BE/sin∠BGE，即4/sin∠GBE=8/sin(180°-60°-∠GBE)，化简得sin(120°-∠GBE)=2sin∠GBE，解得∠GBE=30°。∴∠DHB=2∠GBE=60°。∵DF//BC，∴∠HDB=∠DBE=60°（内错角）。在△DHB中，∠HDB=60°，∠DHB=60°，∴∠DBH=60°，△DHB是等边三角形，∴DH=DB=8。∵FD=8，∴FH=FD-DH=8-8=0。
