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8. (★★)如图,P为$∠ AOB$内一定点,在OA,OB上分别找出点M,N,使得PM+MN最小。
答案
8. 如图。 提示:作点P关于OA对称的点
P',过点P'作OB的垂线分别交OA,OB于点M,N,
此时可得P'M+MN的最小值。
9. (★)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,BD为$△ ABC$的角平分线,过点D作直线$l// AB$,P为直线l上的一个动点,若$△ BCD$的面积为16,$BC=8$,则AP长的最小值为
4
。答案
9. 4
10. (★)如图,已知D,E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的中点,$AD=6$,F是线段AD上的动点,则BF+EF的最小值为 【 】
A.3
B.6
C.9
D.12
A.3
B.6
C.9
D.12
答案
10. B
11. (★)已知等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,E是高AD上任一点,F是腰AB上任一点,腰$AC=5$,$BD=3$,$AD=4$,则线段BE+EF的最小值是【 】
A.5
B.3
C.$\dfrac{24}{5}$
D.$\dfrac{7}{2}$
A.5
B.3
C.$\dfrac{24}{5}$
D.$\dfrac{7}{2}$
答案
11. C
12. (★★)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$,AD平分$∠ CAB$交BC于点D。E,F分别是AD,AC边上的动点,则CE+EF的最小值为 【 】
A.$\dfrac{24}{5}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{6}{5}$
D.$\dfrac{18}{5}$
A.$\dfrac{24}{5}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{6}{5}$
D.$\dfrac{18}{5}$
答案
12. B
13. (★★)如图,若$∠ AOB=44°$,P为$∠ AOB$内一定点,点M在OA上,点N在OB上,当$△ PMN$的周长取最小值时,$∠ MPN$的度数为 【 】
A.$82°$
B.$84°$
C.$88°$
D.$92°$
A.$82°$
B.$84°$
C.$88°$
D.$92°$
答案
13. D
14. (★★★)如图,$△ ABC$中,$∠ ABC=30°$,点D在$△ ABC$外,且$BD=2$。连接AD,CD,则$△ ACD$周长的最小值为 【 】
A.1
B.4
C.2
D.3
A.1
B.4
C.2
D.3
答案
14. C 提示:作点D关于直线BA的对称点
M,直线BC的对称点N,连接MN,则线段MN的长
度即为△ACD的周长的最小值。
由对称的性质得到∠MBA=∠DBA,∠NBC=
∠DBC,BM=BD=BN。
所以∠MBA+∠NBC=∠ABC=30°。
所以∠MBN=60°。
所以△MBN是等边三角形。
所以MN=BM=BD=2。
所以△ACD周长的最小值为2。
15. (★★★)【背景知识】早在古罗马时代,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦。一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:如图①,将军每天从军营A出发,先到河边l饮马,然后再去河岸同侧的军营B开会,应该怎样走才能使路程最短?这个问题的答案并不难,据说海伦略加思索就解决了它。从此以后,这个被称为"将军饮马"的问题便流传至今。大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题。
如图②,作B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l于点C,点C就是所求的位置。
本问题实际上是利用轴对称变换的思想,把A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,从而可利用"两点之间线段最短"加以解决(其中点C为AB'与l的交点,即A,C,B'三点共线)。本问题可归纳为"求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值"问题的数学模型。
【简单应用】
(1)如图③,已知$△ ABC$为等边三角形,高$AH=8\ \mathrm{cm}$,P为AH上一动点,D为AB的中点。
①当PD+PB的值最小时,在图中确定点P的位置(要有必要的画图痕迹,不用写画法)。
②PD+PB的最小值为
(2)如图④,在四边形ABCD中,$∠ BAD=130°$,$∠ B=∠ D=90°$,在BC,CD上分别找一点M,N,当$△ AMN$的周长最小时,求$∠ AMN+∠ ANM$的值。
【拓展应用】
(3)如图⑤是一个港湾,港湾两岸有A,B两个码头,$∠ AOB=30°$,$OA=1.5\ \mathrm{km}$,$OB=2\ \mathrm{km}$,现有一艘货船从码头A出发,根据计划,货船应先停靠OB岸C处装货,再停靠OA岸D处装货,最后到达码头B。怎样安排两岸的装货地点,使货船行驶的水路最短?请画出最短路线并求出最短路程。(注:在直角三角形中,直角边的平方和等于斜边的平方,如图⑥,即在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$a^{2}+b^{2}=c^{2}$)
如图②,作B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l于点C,点C就是所求的位置。
本问题实际上是利用轴对称变换的思想,把A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,从而可利用"两点之间线段最短"加以解决(其中点C为AB'与l的交点,即A,C,B'三点共线)。本问题可归纳为"求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值"问题的数学模型。
【简单应用】
(1)如图③,已知$△ ABC$为等边三角形,高$AH=8\ \mathrm{cm}$,P为AH上一动点,D为AB的中点。
①当PD+PB的值最小时,在图中确定点P的位置(要有必要的画图痕迹,不用写画法)。
②PD+PB的最小值为
8
$\mathrm{cm}$。(2)如图④,在四边形ABCD中,$∠ BAD=130°$,$∠ B=∠ D=90°$,在BC,CD上分别找一点M,N,当$△ AMN$的周长最小时,求$∠ AMN+∠ ANM$的值。
【拓展应用】
(3)如图⑤是一个港湾,港湾两岸有A,B两个码头,$∠ AOB=30°$,$OA=1.5\ \mathrm{km}$,$OB=2\ \mathrm{km}$,现有一艘货船从码头A出发,根据计划,货船应先停靠OB岸C处装货,再停靠OA岸D处装货,最后到达码头B。怎样安排两岸的装货地点,使货船行驶的水路最短?请画出最短路线并求出最短路程。(注:在直角三角形中,直角边的平方和等于斜边的平方,如图⑥,即在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$a^{2}+b^{2}=c^{2}$)
答案
15. (1)①如图,P为所求作的点。
②8
(2)如图,作点A关于BC和CD的对称点A',
A'',连接A'A'',分别交BC,CD于点M,N。
由轴对称的性质可得A'M=AM,A''N=AN。
所以△AMN的周长=AM+AN+MN=A'M+
A''N+MN。
当A',M,N,A''四点共线时,A'M+A''N+MN的值
最小,即此时△AMN的周长最小。
因为∠BAD=130°,
所以∠A'+∠A''=180°-∠BAD=50°。
因为A'M=AM,A''N=AN,
所以∠A'=∠A'AM,∠A''=∠A''AN。
所以∠A'AM+∠A''AN=50°。
所以∠MAN=∠A'AA''-(∠A'AM+∠A''AN)=80°。
所以∠AMN+∠ANM=100°。
(3)如图,分别作点A关于OB的对称点A',点
B关于OA的对称点B',连接A'B',A'C,B'D。
由轴对称的性质,可得A'C=AC,B'D=BD。
所以货船行驶的水路长=AC+CD+BD=A'C+
CD+B'D。
连接A'B',分别交OB,OA于点C',D',即当A',
C,D,B'四点共线时,A'C+CD+B'D的值最小,等于
A'B'的长度,此时货船行驶的水路长最短。
由轴对称的性质可得∠A'OC=∠AOC=30°,
∠B'OA=∠BOA=30°。
所以∠A'OB'=90°。
所以$A'B'^2=OA'^2+OB'^2=6.25$。
所以A'B'=2.5。
所以货船行驶的水路最短路程为2.5 km。
