三、解答题（共54分）
15. （12分）如图，二次函数$y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x - 2$的图像与$x$轴交于点$A$、$B$，与$y$轴交于点$C$，其中点$A$的坐标为$( - 1, 0 )$.
（1）求这个二次函数的表达式及顶点$D$的坐标；
（2）判断$\triangle ABC$的形状，证明你的结论.

（第15题）

解:​(2)△ABC​是直角三角形，证明如下：
令​y=0，​得$​0=\frac 12x^2-\frac 32x-2​$
解得$​x_{1}=-1，$$​​x_{2}=4​$
∴​A(-1，​​0)、​​B(4，​​0)​
∴​AB=5​
令​x=0，​得​y=-2​
∴​C(0，​​-2)​
∴$​AC=\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt 5，$
$​​BC=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt 5​$
∵$​AC^2+BC^2=AB^2​$
∴​△ABC​是直角三角形

16. （13分）如图，一次函数$y = 3 x + 3$的图像与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，二次函数$y = a x ^ { 2 } + b x + c$的图像经过点$A$、$B$、$C$，且点$C$的坐标为$( 3, 0 )$.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）在这个二次函数图像的对称轴上是否存在点$Q$，使$\triangle ABQ$是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由.

（第16题）

解：​(1)​对于一次函数​y=3x+3​
当​y=0​时，​3x+3=0，​解得​x=-1​
∴​A(-1，​​0)​
当​x=0​时，​y=3​
∴​B(0，​​3)​
将点​A(-1，​​0)、​​B(0，​​3)​代入得$​\begin{cases}{0=a-b+c}\\{3=c}\\{0=9a+3b+c}\end{cases}，$​解得$​\begin{cases}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{cases}​$
∴这个二次函数的表达式为$​y=-x^2+2x+3​$
​(2)​存在，点​Q​的坐标分别为​(1，$​​\sqrt 6)、$​​(1，$​​-\sqrt 6)、$​​(1，​​0)、​​(1，​​1)​

17. （11分）已知函数$y = m x ^ { 2 } - 6 x + 1$（$m$是常数）.
（1）求证：不论$m$为何值，该函数的图像都经过$y$轴上的一个定点；
（2）若这个函数的图像与$x$轴只有一个公共点，求$m$的值.

​(1)​证明：当​x=0​时，​y=1​
∴不论​m ​为何值，函数$​y=mx^2-6x+1​$的图像经过​y​轴上的一个定点​(0，​​1) ​
​(2)①​当​m=0​时，函数​y=-6x+1​的图像与​x​轴只有一个公共点
②当​m≠0​时，若二次函数$​y=mx^2-6x+1​$的图像与​x​轴只有一个公共点
则方程$​mx^2-6x+1=0​$有两个相等的实数根
∴$​(-6)^2-4m=0​$
​m=9​
综上所述，​m ​的值为​0​或​9​