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4. 计算：
(1)$3\sqrt{6}-\dfrac{1}{3}\sqrt{6}$；
(2)$\sqrt{48}+3\sqrt{12}$；
(3)$\sqrt{5}-3\sqrt{5}$；
(4)$\sqrt{8}-\sqrt{32}$。
(1)$3\sqrt{6}-\dfrac{1}{3}\sqrt{6}$；
(2)$\sqrt{48}+3\sqrt{12}$；
(3)$\sqrt{5}-3\sqrt{5}$；
(4)$\sqrt{8}-\sqrt{32}$。
答案
$(1) \frac{8}{3}\sqrt{6} (2) 10\sqrt{3} (3) -2\sqrt{5} (4) -2\sqrt{2}$
解析
【解析】
(1) 原式$=(3-\frac{1}{3})\sqrt{6}=\frac{8}{3}\sqrt{6}$；
(2) 原式$=4\sqrt{3}+3×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}+6\sqrt{3}=10\sqrt{3}$；
(3) 原式$=(1-3)\sqrt{5}=-2\sqrt{5}$；
(4) 原式$=2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$\frac{8}{3}\sqrt{6}$；(2)$10\sqrt{3}$；(3)$-2\sqrt{5}$；(4)$-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，解题关键是先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，属于基础运算题，熟练掌握相关方法即可求解。
【难度系数】
0.9
(1) 原式$=(3-\frac{1}{3})\sqrt{6}=\frac{8}{3}\sqrt{6}$；
(2) 原式$=4\sqrt{3}+3×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}+6\sqrt{3}=10\sqrt{3}$；
(3) 原式$=(1-3)\sqrt{5}=-2\sqrt{5}$；
(4) 原式$=2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$\frac{8}{3}\sqrt{6}$；(2)$10\sqrt{3}$；(3)$-2\sqrt{5}$；(4)$-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，解题关键是先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，属于基础运算题，熟练掌握相关方法即可求解。
【难度系数】
0.9
1. 如图，数轴上 $A$，$B$ 两点表示的数分别是 $1$ 和$\sqrt{2}$，点 $A$ 关于点 $B$ 的对称点是点 $C$，则点 $C$ 所表示的数是(
A.$\sqrt{2}-1$
B.$1+\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$2\sqrt{2}-1$
D
)A.$\sqrt{2}-1$
B.$1+\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$2\sqrt{2}-1$
答案
D
解析
【解析】
设点$C$所表示的数为$x$，因为点$A$关于点$B$的对称点是点$C$，所以点$B$是线段$AC$的中点。
根据数轴上中点坐标公式可得：$\frac{1+x}{2}=\sqrt{2}$，
解方程：$1+x=2\sqrt{2}$，
解得：$x=2\sqrt{2}-1$，
故点$C$所表示的数是$2\sqrt{2}-1$。
【答案】
D
【知识点】
数轴中点公式，对称点性质
【点评】
本题考查数轴上对称点的性质，利用中点公式建立方程求解，需熟练掌握数轴上中点的计算方法，属于基础题。
【难度系数】
0.7
设点$C$所表示的数为$x$，因为点$A$关于点$B$的对称点是点$C$，所以点$B$是线段$AC$的中点。
根据数轴上中点坐标公式可得：$\frac{1+x}{2}=\sqrt{2}$，
解方程：$1+x=2\sqrt{2}$，
解得：$x=2\sqrt{2}-1$，
故点$C$所表示的数是$2\sqrt{2}-1$。
【答案】
D
【知识点】
数轴中点公式，对称点性质
【点评】
本题考查数轴上对称点的性质，利用中点公式建立方程求解，需熟练掌握数轴上中点的计算方法，属于基础题。
【难度系数】
0.7
2. 填空：
(1)若$\sqrt{18}$与最简二次根式 $6\sqrt{m - 1}$是同类二次根式，则 $m=$；
(2)若 $a$，$b$ 都是无理数，且 $a + b = 1$，请写出一组符合条件的 $a$，$b$ 的值：。
(1)若$\sqrt{18}$与最简二次根式 $6\sqrt{m - 1}$是同类二次根式，则 $m=$；
(2)若 $a$，$b$ 都是无理数，且 $a + b = 1$，请写出一组符合条件的 $a$，$b$ 的值：。
答案
(1) 3 (2) 不唯一，如，$a = \sqrt{2}+1$，$b = -\sqrt{2}$
解析
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{18}$：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，因为$\sqrt{18}$与最简二次根式$6\sqrt{m - 1}$是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相同，所以$m - 1 = 2$，解得$m = 3$。
(2) 要使无理数$a$、$b$满足$a + b = 1$，可构造$a = \sqrt{2}+1$，$b = -\sqrt{2}$，此时$a + b = (\sqrt{2}+1) + (-\sqrt{2}) = 1$，符合条件（答案不唯一）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) 示例：$\boldsymbol{a = \sqrt{2}+1}$，$\boldsymbol{b = -\sqrt{2}}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 同类二次根式；2. 无理数的性质
【点评】
本题考查同类二次根式的定义及无理数的运算，第一题需先化简二次根式再利用同类二次根式的定义求解，第二题需掌握无理数的构造方法，答案灵活多样。
【难度系数】
0.6
(1) 先化简$\sqrt{18}$：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，因为$\sqrt{18}$与最简二次根式$6\sqrt{m - 1}$是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相同，所以$m - 1 = 2$，解得$m = 3$。
(2) 要使无理数$a$、$b$满足$a + b = 1$，可构造$a = \sqrt{2}+1$，$b = -\sqrt{2}$，此时$a + b = (\sqrt{2}+1) + (-\sqrt{2}) = 1$，符合条件（答案不唯一）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) 示例：$\boldsymbol{a = \sqrt{2}+1}$，$\boldsymbol{b = -\sqrt{2}}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 同类二次根式；2. 无理数的性质
【点评】
本题考查同类二次根式的定义及无理数的运算，第一题需先化简二次根式再利用同类二次根式的定义求解，第二题需掌握无理数的构造方法，答案灵活多样。
【难度系数】
0.6
3. 计算：
(1)$\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(2)$4\sqrt{3}-7\sqrt{12}+2\sqrt{48}$。
(1)$\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(2)$4\sqrt{3}-7\sqrt{12}+2\sqrt{48}$。
答案
3. (1) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ (2) $-2\sqrt{3}$
解析
【解析】
(1) 先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=(3-2+\dfrac{1}{3})\sqrt{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
(2) 先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，则$7\sqrt{12}=14\sqrt{3}$，$2\sqrt{48}=8\sqrt{3}$
再合并同类二次根式：
原式$=4\sqrt{3}-14\sqrt{3}+8\sqrt{3}=(4-14+8)\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$；(2) $-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，解题关键是先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，属于基础运算题，熟练掌握最简二次根式的化简方法是核心。
【难度系数】
0.8
(1) 先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=(3-2+\dfrac{1}{3})\sqrt{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
(2) 先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，则$7\sqrt{12}=14\sqrt{3}$，$2\sqrt{48}=8\sqrt{3}$
再合并同类二次根式：
原式$=4\sqrt{3}-14\sqrt{3}+8\sqrt{3}=(4-14+8)\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$；(2) $-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，解题关键是先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，属于基础运算题，熟练掌握最简二次根式的化简方法是核心。
【难度系数】
0.8
4. 嘉嘉和淇淇同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数。现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到黑色球，就减去球上的数。
(第4题)
(1)若嘉嘉摸到如图①所示的两个小球，请计算出结果。
(2)如图②，若嘉嘉摸出全部的球，计算结果为 $x$，淇淇说 $x$ 的值能与$\sqrt{48}$合并。你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由。
(第4题)
(1)若嘉嘉摸到如图①所示的两个小球，请计算出结果。
(2)如图②，若嘉嘉摸出全部的球，计算结果为 $x$，淇淇说 $x$ 的值能与$\sqrt{48}$合并。你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由。
答案
4. (1) $\sqrt{3}$ (2) 正确
解析
【解析】
(1) 先化简二次根式：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}\sqrt{27}=\sqrt{3}$，
根据题意得：$\sqrt{12}-\frac{1}{3}\sqrt{27}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(2) 先计算$x$的值：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}$，$\frac{1}{3}\sqrt{27}=\sqrt{3}$，
$x=\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}\sqrt{27}+\sqrt{6}$
$=2\sqrt{3}-\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{6}$
$=\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$与$4\sqrt{3}$是同类二次根式，能合并，所以淇淇的说法正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{正确}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式，实数运算
【点评】
本题考查二次根式的运算及同类二次根式的判断，熟练掌握二次根式的化简法则是解题核心。
【难度系数】
0.6
(1) 先化简二次根式：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}\sqrt{27}=\sqrt{3}$，
根据题意得：$\sqrt{12}-\frac{1}{3}\sqrt{27}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(2) 先计算$x$的值：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}$，$\frac{1}{3}\sqrt{27}=\sqrt{3}$，
$x=\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}\sqrt{27}+\sqrt{6}$
$=2\sqrt{3}-\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{6}$
$=\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$与$4\sqrt{3}$是同类二次根式，能合并，所以淇淇的说法正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{正确}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式，实数运算
【点评】
本题考查二次根式的运算及同类二次根式的判断，熟练掌握二次根式的化简法则是解题核心。
【难度系数】
0.6
