10. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，垂足分别为 $E$，$F$.
（1）求证：$△ ABE≌△ ADF$.
（2）若 $AE = 4$，$CF = 2$，求菱形 $ABCD$ 的边长.

10. （1）
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ $AB = BC = CD = AD$，$∠B = ∠D$．
∵ $AE ⊥ BC$，$AF ⊥ CD$，
∴ $∠AEB = ∠AFD$．在 $△ ABE$ 和 $△ ADF$ 中，$\{\begin{array}{l} ∠AEB = ∠AFD,\\ ∠B = ∠D,\\ AB = AD,\end{array} $
∴ $△ ABE ≌ △ ADF$（AAS） （2）设菱形的边长为 $x$，
∵ $AB = CD = x$，$CF = 2$，
∴ $DF = x - 2$．
∵ $△ ABE ≌ △ ADF$，
∴ $BE = DF = x - 2$．在 $Rt△ ABE$ 中，根据勾股定理，得 $AE^{2} + BE^{2} = AB^{2}$，即 $4^{2} + (x - 2)^{2} = x^{2}$，解得 $x = 5$，
∴ 菱形的边长是 5

【分析】
（1）要证明$△ABE≌△ADF$，先根据菱形的性质得出$AB=AD$，$∠B=∠D$；再由垂直的定义得到$∠AEB=∠AFD=90°$，最后利用AAS全等判定定理即可完成证明。
（2）要求菱形的边长，可设边长为$x$，利用（1）的全等结论得到$BE=DF$，结合$CF=2$表示出$BE=x-2$；在$Rt△ABE$中，已知$AE=4$，根据勾股定理列出关于$x$的方程，解方程即可求出边长。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AB = AD$，$∠B = ∠D$．
∵ $AE ⊥ BC$，$AF ⊥ CD$，
∴ $∠AEB = ∠AFD = 90°$．
在$△ABE$和$△ADF$中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠AFD,\\∠B = ∠D,\\AB = AD,\end{array} $
∴ $△ABE ≌ △ADF$（AAS）．
（2）解：设菱形$ABCD$的边长为$x$，则$AB = CD = x$．
∵ $CF = 2$，
∴ $DF = CD - CF = x - 2$．
由（1）知$△ABE ≌ △ADF$，
∴ $BE = DF = x - 2$．
在$Rt△ABE$中，$AE⊥BC$，根据勾股定理：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
将$AE=4$，$BE=x-2$，$AB=x$代入得：
$4^2 + (x - 2)^2 = x^2$，
展开得：$16 + x^2 - 4x + 4 = x^2$，
化简得：$20 - 4x = 0$，
解得：$x = 5$．
即菱形$ABCD$的边长为5。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）菱形$ABCD$的边长为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定（AAS），勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，第一问依托菱形性质结合AAS完成全等证明，第二问通过设未知数，借助全等结论和勾股定理构建方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，需熟练掌握相关几何定理与思想方法。
【难度系数】
0.6

11. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$DH⊥ AB$，垂足为 $H$，连接 $OH$.
（1）求证：$∠ OHD=∠ ODH$.
（2）若 $OC = 4$，$BD = 6$，求 $DH$ 的长.

11. （1）
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ $OD = OB$，$AB // CD$，$BD ⊥ AC$．
∵ $DH ⊥ AB$，
∴ $∠DHB = 90^{\circ}$．
∴ $OH = \frac{1}{2}BD = OD$．
∴ $∠OHD = ∠ODH$ （2）
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ $OD = OB = \frac{1}{2}BD = 3$，$OA = OC = 4$，$BD ⊥ AC$．
∴ $AB = CD$，$AC = 8$．在 $Rt△ OCD$ 中，$CD = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$，
∴ $AB = 5$．
∴ $AB · DH = \frac{1}{2}AC · BD$．
∴ $5 × DH = \frac{1}{2} × 8 × 6$．
∴ $DH = \frac{24}{5}$

【分析】
（1）要证明∠OHD=∠ODH，先根据菱形的性质得出OD=OB，结合DH⊥AB，在Rt△DHB中，OH是斜边BD的中线，可得OH=OD，再根据等边对等角即可证得结论。
（2）要求DH的长，先利用菱形对角线互相平分且垂直的性质求出OD、OC的长度，通过勾股定理求出菱形的边长AB，再利用菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，进而求解DH的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $OD = OB$，$BD ⊥ AC$．
∵ $DH ⊥ AB$，
∴ $∠DHB = 90°$，
∴ 在$Rt△DHB$中，$OH$为斜边$BD$的中线，
∴ $OH = \frac{1}{2}BD = OD$，
∴ $∠OHD = ∠ODH$．
（2）解：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $OD = OB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×6 = 3$，$OA = OC = 4$，$BD ⊥ AC$，$AB = CD$，
在$Rt△OCD$中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{OC^2 + OD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，
∴ $AB = 5$，
∵ 菱形$ABCD$的面积$S = \frac{1}{2}AC·BD = AB·DH$，且$AC = 2OC = 8$，
∴ $\frac{1}{2}×8×6 = 5×DH$，
解得：$DH = \frac{24}{5}$．
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质与直角三角形的相关定理，第一问通过直角三角形斜边中线性质转化线段关系证角相等，第二问利用面积法建立等式求高，需灵活运用菱形的性质和面积公式，培养转化思想。
【难度系数】
0.6

12. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 7$，$BC = 3$. 点 $E$ 在 $AD$ 上，$AE = 1$，$F$ 是边 $AB$ 上的一个动点，以 $EF$ 为一边作菱形 $EFMN$，使点 $N$ 落在边 $CD$ 上，点 $M$ 落在矩形 $ABCD$ 内或其边上. 设 $AF = x$，$△ BFM$ 的面积为 $S$.
(1)求证：$∠ DNE=∠ MFB$.
(2)求 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式.
(3)当 $x =$时，$S$ 的值最大；当 $x =$时，$S$ 的值最小.

12. （1）如图，连接 FN，作 $MQ ⊥ FB$，垂足为 Q，则 $∠MQF = 90^{\circ}$，$∠MQF = ∠A$．
∵ 四边形 EFMN 是菱形，
∴ $EN = FM$，$EN // FM$．
∴ $∠ENF = ∠NFM$．
∵ 在矩形 ABCD 中，$DC // AB$，
∴ $∠DNF = ∠NFQ$．
∴ $∠DNF - ∠ENF = ∠NFQ - ∠NFM$，即 $∠DNE = ∠MFQ$ （2）
∵ $∠D = ∠FQM = 90^{\circ}$，$∠DNE = ∠MFQ$，$NE = FM$，
∴ $△ DNE ≌ △ QFM$（AAS），
∴ $MQ = DE = 2$．
∵ $AB = 7$，$AF = x$，
∴ $S_{△ FBM} = \frac{1}{2} × FB × MQ = \frac{1}{2} × (7 - x) × 2 = 7 - x$．
∴ $S$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $S = 7 - x$ （3）当点 $N$ 与 $D$ 重合时，$x$ 的值最小，$△ BFM$ 的面积最大，在 $Rt△ AEF$ 中，$x = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$，$S$ 的最大值是 $7 - \sqrt{3}$；当点 $M$ 在 $BC$ 上时，$S$ 的值最小，此时 $FM = \sqrt{x^{2} + 1}$，$BM = 2$，$FB = 7 - x$，在 $Rt△ FBM$ 中，根据勾股定理，得 $x^{2} + 1 = 4 + (7 - x)^{2}$，解得 $x = \frac{26}{7}$，$S$ 的最小值是 $\frac{23}{7}$

【分析】
(1) 要证明$∠DNE=∠MFB$，可借助菱形和矩形的平行线性质推导：菱形对边平行可得内错角相等，矩形对边平行也可得内错角相等，用这两组角分别相减即可得到待证角相等。
(2) 求$△BFM$的面积，关键是确定其高。通过构造垂线$MQ⊥FB$，证明$△DNE$与$△QFM$全等，得到高$MQ=DE$，再结合底$FB$的长度，利用三角形面积公式即可得出函数表达式。
(3) 由$S=7-x$可知$S$随$x$的增大而减小，因此$x$取最小值时$S$最大，$x$取最大值时$S$最小。当$N$与$D$重合时$x$最小，利用勾股定理计算此时的$AF$；当$M$在$BC$上时$x$最大，利用菱形边长相等和勾股定理列方程求解$x$。
【解析】
(1) 证明：
连接 $FN$，过点 $M$ 作 $MQ ⊥ AB$ 于点 $Q$，则 $∠MQF = 90°$。
∵ 四边形 $EFMN$ 是菱形，
∴ $EN // FM$，
∴ $∠ENF = ∠NFM$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $DC // AB$，
∴ $∠DNF = ∠NFQ$。
∴ $∠DNF - ∠ENF = ∠NFQ - ∠NFM$，
即 $\boldsymbol{∠DNE = ∠MFB}$。
(2) 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $∠D = 90°$，$AD = BC = 3$。
∵ $AE = 1$，
∴ $DE = AD - AE = 3 - 1 = 2$。
在 $△DNE$ 和 $△QFM$ 中：
$\begin{cases}∠D = ∠FQM = 90° \\∠DNE = ∠MFQ \\NE = FM\end{cases}$
∴ $△DNE ≌ △QFM$（AAS），
∴ $MQ = DE = 2$。
∵ $AB = 7$，$AF = x$，
∴ $FB = AB - AF = 7 - x$。
则 $S_{△BFM} = \frac{1}{2} · FB · MQ = \frac{1}{2} × (7 - x) × 2 = 7 - x$。
结合$x$的取值范围，得 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式为：
$\boldsymbol{S = 7 - x}$（$\boldsymbol{\sqrt{3} ≤ x ≤ \frac{26}{7}}$）。
(3) 解：
∵ $S = 7 - x$ 是一次函数，且 $k = -1 ＜ 0$，
∴ $S$ 随 $x$ 的增大而减小。
① 当点 $N$ 与 $D$ 重合时，$x$ 最小：
此时 $EF = DE = 2$，在 $Rt△AEF$ 中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{EF^2 - AE^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
即 $x = \sqrt{3}$ 时，$S$ 取得最大值。
② 当点 $M$ 在 $BC$ 上时，$x$ 最大：
此时 $FM = EF = \sqrt{x^2 + 1}$，$FB = 7 - x$，$BM = 2$，
在 $Rt△FBM$ 中，由勾股定理得：
$FM^2 = BM^2 + FB^2$，
即 $x^2 + 1 = 2^2 + (7 - x)^2$，
展开得：$x^2 + 1 = 4 + 49 - 14x + x^2$，
化简得：$14x = 52$，解得 $x = \frac{26}{7}$，
即 $x = \frac{26}{7}$ 时，$S$ 取得最小值。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $S = 7 - x$（$\sqrt{3} ≤ x ≤ \frac{26}{7}$）；
(3) $\sqrt{3}$，$\frac{26}{7}$
【知识点】
矩形的性质、菱形的性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质及勾股定理的应用，解题关键是通过构造辅助线建立角和边的等量关系，结合函数性质分析最值情况，对几何图形的性质综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.6