1. 如图,点A,B,C在⊙O上,若∠BAC= 40°,则∠BOC= ( )
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
答案
D
解析
证明：
∵点A,B,C在⊙O上，∠BAC=40°
∴∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
∴∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°
D
∵点A,B,C在⊙O上，∠BAC=40°
∴∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
∴∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°
D
2. 如图,AB,CD是⊙O的直径,E是$\overset{\frown}{BC}$的中点,DE⊥AB,则∠CDE的度数是 ( )
A.20°
B.30°
C.45°
D.60°
A.20°
B.30°
C.45°
D.60°
答案
B
3. 如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E,设∠ABC= α,∠ABD= β,∠AEC= γ,则 ( )
A.α+β-γ= 90°
B.β+γ-α= 90°
C.α+γ-β= 90°
D.α+β+γ= 180°
A.α+β-γ= 90°
B.β+γ-α= 90°
C.α+γ-β= 90°
D.α+β+γ= 180°
答案
B
解析
证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠AEC是△BED的外角，
∴∠AEC=∠ABD+∠EDB，即γ=β+∠EDB，
∵∠ABC=α，
∴∠ADC=α，
∵∠ADB=∠ADC+∠EDB=90°，
∴α+∠EDB=90°，
∴∠EDB=90°-α，
∵γ=β+∠EDB，
∴γ=β+90°-α，
∴β+γ-α=90°。
结论：B
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠AEC是△BED的外角，
∴∠AEC=∠ABD+∠EDB，即γ=β+∠EDB，
∵∠ABC=α，
∴∠ADC=α，
∵∠ADB=∠ADC+∠EDB=90°，
∴α+∠EDB=90°，
∴∠EDB=90°-α，
∵γ=β+∠EDB，
∴γ=β+90°-α，
∴β+γ-α=90°。
结论：B
4. 如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠AOC= 140°,B是$\overset{\frown}{AC}$的中点,则∠D的度数是 ______.
答案
35°
解析
证明：
∵B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。
∵∠AOC=140°，
∴∠AOB=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=70°。
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠AOB=35°。
35°
∵B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。
∵∠AOC=140°，
∴∠AOB=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=70°。
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠AOB=35°。
35°
5. 如图,在⊙O中,若∠BAC= 24°,∠ACB= 42°,则∠ACO= ______.
答案
24°
解析
证明：在△ABC中，∠BAC=24°，∠ACB=42°，
∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-24°-42°=114°.
∠AOC=2∠ABC=2×114°=228°.
OA=OC，
∠OAC=∠OCA=(180°-∠AOC)/2=(180°-228°)/2=-24°（此结果不符合实际，重新计算）.
（正确解法）连接OB，
∠ABC=180°-24°-42°=114°，
∠AOC=2∠ABC=228°（优弧所对圆心角），
则劣弧AC所对圆心角∠AOC=360°-228°=132°，
OA=OC，
∠OAC=∠OCA=(180°-132°)/2=24°，
即∠ACO=24°.
24°
∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-24°-42°=114°.
∠AOC=2∠ABC=2×114°=228°.
OA=OC，
∠OAC=∠OCA=(180°-∠AOC)/2=(180°-228°)/2=-24°（此结果不符合实际，重新计算）.
（正确解法）连接OB，
∠ABC=180°-24°-42°=114°，
∠AOC=2∠ABC=228°（优弧所对圆心角），
则劣弧AC所对圆心角∠AOC=360°-228°=132°，
OA=OC，
∠OAC=∠OCA=(180°-132°)/2=24°，
即∠ACO=24°.
24°
6. 如图,AB是⊙O的直径,BC,CD,DA是⊙O的弦,且BC= CD= DA,则∠BCD= ______.
答案
120°
解析
证明：连接OC，OD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°。
∵BC=CD=DA，
∴弧BC=弧CD=弧DA。
∴∠AOD=∠DOC=∠COB= $\frac{180°}{3}=60°$。
∵OD=OC=OB，
∴△DOC，△COB均为等边三角形。
∴∠OCD=∠OCB=60°。
∴∠BCD=∠OCD+∠OCB=60°+60°=120°。
120°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°。
∵BC=CD=DA，
∴弧BC=弧CD=弧DA。
∴∠AOD=∠DOC=∠COB= $\frac{180°}{3}=60°$。
∵OD=OC=OB，
∴△DOC，△COB均为等边三角形。
∴∠OCD=∠OCB=60°。
∴∠BCD=∠OCD+∠OCB=60°+60°=120°。
120°
7. 如图,在△ABC中,AB= AC,以腰AB为直径作圆O,分别交BC,AC于点D,E,连结OD,DE.
(1)求证：BD= DE= DC.
(2)若∠BAC= 50°,求∠ODE的度数.
(1)求证：BD= DE= DC.
(2)若∠BAC= 50°,求∠ODE的度数.
答案
解：
(1)证明:连结AD(图略),
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,
∴BD=DC且AD平分∠BAC,
∴BD=DE,
∴BD=DE=DC.
(2)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}×$(180°-50°)=65°,
∴∠ODB=∠B=65°.
∵∠EDC+∠BDE=180°,
∠BAC+∠BDE=180°,
∴∠EDC=∠BAC=50°,
∴∠ODE=180°-∠ODB-∠EDC=180°-65°-50°=65°.
(1)证明:连结AD(图略),
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,
∴BD=DC且AD平分∠BAC,
∴BD=DE,
∴BD=DE=DC.
(2)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}×$(180°-50°)=65°,
∴∠ODB=∠B=65°.
∵∠EDC+∠BDE=180°,
∠BAC+∠BDE=180°,
∴∠EDC=∠BAC=50°,
∴∠ODE=180°-∠ODB-∠EDC=180°-65°-50°=65°.
