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8. 一个多边形的内角和是外角和的$2$倍，它是边形。
答案
六
解析
设多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$。
已知多边形外角和恒为$360^{\circ}$，由题意可得方程$(n - 2) × 180^{\circ}=2×360^{\circ}$。
解方程$(n - 2) × 180 = 720$，$n - 2 = 4$，解得$n = 6$。
已知多边形外角和恒为$360^{\circ}$，由题意可得方程$(n - 2) × 180^{\circ}=2×360^{\circ}$。
解方程$(n - 2) × 180 = 720$，$n - 2 = 4$，解得$n = 6$。
9. 若关于$x$，$y$的方程组$\{\begin{array}{l} x+y=4,\\ x-y=2a\end{array} $的解满足$x＜2y$，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
$a ＜ \frac{2}{3}$
解析
解方程组$\begin{cases}x + y = 4 \\ x - y = 2a\end{cases}$，两式相加得$2x = 4 + 2a$，解得$x = 2 + a$；两式相减得$2y = 4 - 2a$，解得$y = 2 - a$。因为$x ＜ 2y$，所以$2 + a ＜ 2(2 - a)$，即$2 + a ＜ 4 - 2a$，移项得$3a ＜ 2$，解得$a ＜ \frac{2}{3}$。
10. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$OE⊥BD$交$AD$于点$E$，连接$BE$。若$□ ABCD$的周长为$26$，则$△ ABE$的周长为。
答案
13
解析
在$□ABCD$中，周长为26，故$AB + AD = \frac{26}{2} = 13$。
∵平行四边形对角线互相平分，∴$O$为$BD$中点。
∵$OE⊥BD$，∴$OE$垂直平分$BD$，则$EB = ED$。
$△ABE$的周长$= AB + BE + AE = AB + ED + AE = AB + AD = 13$。
∵平行四边形对角线互相平分，∴$O$为$BD$中点。
∵$OE⊥BD$，∴$OE$垂直平分$BD$，则$EB = ED$。
$△ABE$的周长$= AB + BE + AE = AB + ED + AE = AB + AD = 13$。
11. 如图，将$Rt△ ABC$沿着点$B$到点$C$的方向平移到$△ DEF$的位置，此时$AB=10$，$DO=4$，阴影部分的面积为$40$，则平移的距离为。
答案
5
解析
设平移距离为$x$（即$BE = x$）。由平移性质知$DE = AB = 10$，$DE// AB$，$∠ E=∠ B = 90°$。
因为$DO = 4$，所以$EO=DE - DO=10 - 4=6$。
由于$AB// DE$，$△ OEC∼△ ABC$，相似比为$\frac{EO}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，则$\frac{EC}{BC}=\frac{3}{5}$，设$BC = a$，则$EC=\frac{3}{5}a$，故$BE=BC - EC=a-\frac{3}{5}a=\frac{2}{5}a=x$，即$a=\frac{5}{2}x$。
阴影部分为梯形$ABEO$，面积$S=\frac{(AB + EO)· BE}{2}=\frac{(10 + 6)x}{2}=8x$。
已知阴影面积为$40$，则$8x = 40$，解得$x = 5$。
因为$DO = 4$，所以$EO=DE - DO=10 - 4=6$。
由于$AB// DE$，$△ OEC∼△ ABC$，相似比为$\frac{EO}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，则$\frac{EC}{BC}=\frac{3}{5}$，设$BC = a$，则$EC=\frac{3}{5}a$，故$BE=BC - EC=a-\frac{3}{5}a=\frac{2}{5}a=x$，即$a=\frac{5}{2}x$。
阴影部分为梯形$ABEO$，面积$S=\frac{(AB + EO)· BE}{2}=\frac{(10 + 6)x}{2}=8x$。
已知阴影面积为$40$，则$8x = 40$，解得$x = 5$。
12. 提升题 如图，在$△ ABC$中，$∠A=30°$，将一块足够大的直角三角尺$PMN$($∠M=90°$，$∠MPN=30°$)按图示位置放置，顶点$P$在边$AC$上滑动，三角尺的直角边$PM$始终经过点$B$，斜边$PN$交$AB$于点$D$。若点$P$在滑动中恰能使$△ PAD$与$△ PBC$均为等腰三角形，则$∠C$的度数为。
答案
75°或52.5°或30°
解析
设∠C=x，则∠ABC=150°-x。∠MPN=30°，故∠APD+∠BPC=150°。
△PAD为等腰三角形：
若PA=AD，则∠APD=∠ADP=75°，故∠BPC=150°-75°=75°。
△PBC为等腰三角形：若∠BPC=∠C=75°，则x=75°，∠ABC=150°-75°=75°，∠PBC=180°-75°-75°=30°，∠ABP=75°-30°=45°，符合题意。
综上，∠C=75°。
△PAD为等腰三角形：
若PA=AD，则∠APD=∠ADP=75°，故∠BPC=150°-75°=75°。
△PBC为等腰三角形：若∠BPC=∠C=75°，则x=75°，∠ABC=150°-75°=75°，∠PBC=180°-75°-75°=30°，∠ABP=75°-30°=45°，符合题意。
综上，∠C=75°。
三、解答题
13. 因式分解：$3ma^{2}-18ma+27m$。
13. 因式分解：$3ma^{2}-18ma+27m$。
答案
$3ma^{2} - 18ma + 27m$
$= 3m(a^{2} - 6a + 9)$
$= 3m(a - 3)^{2}$
$= 3m(a^{2} - 6a + 9)$
$= 3m(a - 3)^{2}$
14. 解不等式：$\frac {1-x}{3}-x＜3-\frac {x+2}{4}$。
答案
$ \frac {1-x}{3}-x＜3-\frac {x+2}{4}$，
去分母，两边同时乘以12，得到：
$4(1-x) - 12x ＜ 36 - 3(x + 2)$，
去括号，得到：
$4 - 4x - 12x ＜ 36 - 3x - 6$，
移项，得到：
$-4x - 12x + 3x ＜ 36 - 6 - 4$，
合并同类项，得到：
$-13x ＜ 26$，
系数化为1，两边同时除以-13，不等号方向改变，得到：
$x ＞ -2$。
去分母，两边同时乘以12，得到：
$4(1-x) - 12x ＜ 36 - 3(x + 2)$，
去括号，得到：
$4 - 4x - 12x ＜ 36 - 3x - 6$，
移项，得到：
$-4x - 12x + 3x ＜ 36 - 6 - 4$，
合并同类项，得到：
$-13x ＜ 26$，
系数化为1，两边同时除以-13，不等号方向改变，得到：
$x ＞ -2$。
15. 解分式方程：$\frac {x-2}{2x-1}+1=\frac {3}{2(1-2x)}$。
答案
方程两边同乘$2(2x - 1)$（注意$2x-1≠0$即$x≠\frac{1}{2}$，且$1 - 2x=-(2x - 1)≠0$）去分母得：
$2(x - 2)+2(2x - 1)=- 3$。
去括号得：
$2x-4 + 4x-2=-3$。
移项得：
$2x + 4x=-3 + 4 + 2$。
合并同类项得：
$6x=3$。
系数化为$1$得：
$x=\frac{1}{2}$。
检验：当$x = \frac{1}{2}$时，$2(2x - 1)=2×(2×\frac{1}{2}-1)=0$，所以$x = \frac{1}{2}$是增根，原分式方程无解。
$2(x - 2)+2(2x - 1)=- 3$。
去括号得：
$2x-4 + 4x-2=-3$。
移项得：
$2x + 4x=-3 + 4 + 2$。
合并同类项得：
$6x=3$。
系数化为$1$得：
$x=\frac{1}{2}$。
检验：当$x = \frac{1}{2}$时，$2(2x - 1)=2×(2×\frac{1}{2}-1)=0$，所以$x = \frac{1}{2}$是增根，原分式方程无解。
