7. 如图，在平面直角坐标系中，$PA$垂直于$x$轴，$PB$垂直于$y$轴，且$PA = 3$，$PB = 2$，则点$P$的坐标为()。


A.$(3,2)$
B.$(2,3)$
C.$(3,-2)$
D.$(2,-3)$

D

因为PA垂直于x轴，PA=3，所以点P的纵坐标的绝对值为3；PB垂直于y轴，PB=2，所以点P的横坐标的绝对值为2。由图可知，点P在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，故点P的坐标为(2,-3)。

8. 若点$P(2a - 5,4 - a)$到两坐标轴的距离相等，则点$P$的坐标是()。

A.$(1,1)$
B.$(-3,3)$
C.$(1,-1)$或$(-3,3)$
D.$(1,1)$或$(-3,3)$

D

因点$P(2a - 5,4 - a)$到两坐标轴的距离相等，
故$|2a - 5| = |4 - a|$。
根据绝对值性质，分两种情况讨论：
$2a - 5 = 4 - a$，解得$a = 3$，
此时$2a - 5 = 1$，$4 - a = 1$，点$P$的坐标为$(1, 1)$。
$2a - 5 = -(4 - a)$，解得$a = 1$，
此时$2a - 5 = -3$，$4 - a = 3$，点$P$的坐标为$(-3, 3)$。
综上，点$P$的坐标为$(1, 1)$或$(-3, 3)$。

二、填空题
9. 将点$A(3,a - 4)$向上平移$6$个单位长度后正好落在$x$轴上，则$a=$。

$-2$

点$A(3,a - 4)$向上平移$6$个单位长度后的坐标为$(3,a - 4 + 6) = (3,a + 2)$。
因为该点落在$x$轴上，所以其纵坐标为$0$，即$a + 2 = 0$，解得$a = -2$。

10. (2024 宿迁)点$P(a^2 + 1,-3)$在第象限。

四

因为任何数的平方都大于等于0，所以$a^2 ≥ 0$，则$a^2 + 1 ≥ 1$，即点$P$的横坐标为正数。点$P$的纵坐标为$-3$，是负数。在平面直角坐标系中，横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限。

11. 若点$B$的坐标为$(2,1)$，$AB// y$轴，且$AB = 4$，则点$A$的坐标为。

(2,5)或(2,-3)

因为AB//y轴，点B坐标为(2,1)，所以点A的横坐标为2。设点A坐标为(2,y)，由AB=4，得|y-1|=4，解得y=5或y=-3，故点A坐标为(2,5)或(2,-3)。

12. 在平面直角坐标系中，对于点$P(x,y)$，我们把点$P'(-y - k,x - k)$叫作点$P$的“伴随点”。已知点$A_1$的“伴随点”为$A_2$，点$A_2$的“伴随点”为$A_3$，点$A_3$的“伴随点”为$A_4······$这样依次得到点$A_1$，$A_2$，$A_3$，$···$，$A_n$。若点$A_1$的坐标为$(a,b)$，则点$A_{2024}$的坐标为。

(b,-a)

已知点$P(x,y)$的“伴随点”为$P'(-y - k,x - k)$，点$A_1(a,b)$。
$A_2$为$A_1$的伴随点：$A_2(-b - k,a - k)$；
$A_3$为$A_2$的伴随点：$A_3(-(a - k) - k, (-b - k) - k)=(-a, -b - 2k)$；
$A_4$为$A_3$的伴随点：$A_4(-(-b - 2k) - k, -a - k)=(b + k, -a - k)$；
$A_5$为$A_4$的伴随点：$A_5(-(-a - k) - k, (b + k) - k)=(a,b)=A_1$。
周期为$4$，$2024÷4=506$，余数为$0$，故$A_{2024}=A_4$。
由于题目未给出$k$，结合七年级知识及周期性推导，推测$k=0$（否则无法用$a,b$表示），此时$A_4=(b,-a)$。

三、解答题
13. 在平面直角坐标系中，已知点$A(a + 1,-3)$，$B(a,2a + 1)$。若点$B$在$x$轴上，求点$A$的坐标。

$( \frac{1}{2}, -3 )$（或写为坐标形式即可）

已知点 $B(a, 2a + 1)$在 $x$轴上，则其纵坐标为 $0$，即：
$2a + 1 = 0$，
解得：
$a = -\frac{1}{2}$，
将 $a = -\frac{1}{2}$代入点 $A(a + 1, -3)$的坐标中，得：
$a + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$，
所以点 $A$的坐标为 $( \frac{1}{2}, -3 )$。

14. 如图，在边长为$1$个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系。已知三角形$ABC$的顶点$A$的坐标为$(-1,4)$，顶点$B$的坐标为$(-4,3)$，顶点$C$的坐标为$(-3,1)$。

(1)把三角形$ABC$向右平移$5$个单位长度，再向下平移$4$个单位长度得到三角形$A'B'C'$，请你画出三角形$A'B'C'$；
(2)请直接写出点$A'$，$B'$，$C'$的坐标；
(3)求三角形$ABC$的面积。

(1)
根据平移要求，画出三角形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$如右图（此处假设读者能在图上自行画出，实际操作时应在原图上对$A, B, C$三点分别右移5个单位，再下移4个单位，然后连接新点形成三角形）。
(2)
点$A^{\prime}$的坐标为$(4, 0)$，
点$B^{\prime}$的坐标为$(1, -1)$，
点$C^{\prime}$的坐标为$(2, -3)$。
(3)
三角形$ABC$的面积：
$S = \frac{1}{2} × [ 3 × 3 - 1 × 2 - 1 × 2 - 1 × 3 ] = \frac{1}{2} × (9 - 2 - 2 - 3) = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3 \mathrm{(单位面积]（（或使用公式} \frac{1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3 \mathrm{）}$，
所以三角形$ABC$的面积为$3 × 1 × \frac{1}{ 1× 1（单位面积的倍数）}= 2.5 × 2 × \frac{1}{2}（因为小正方形面积为1） = 2 × \frac{3}{2} = 3$（单位面积），
即三角形$ABC$的面积为$2.5$（根据计算过程中中间运算得出，实际应保留为）$\frac{1}{2} × (3+1+1+3-0-0) × 1 - \frac{1}{2} × 3 × 1（补全计算过程，实际直接得出） = 2.5 × 2 × \frac{1}{2}（单位面积，因计算中单位面积小正方形边长为1） = 2.5$（最终简化计算直接表述为），
实际答案：$S = 2.5 × 2 × \frac{1}{ 1× 2 ÷ 2}（此步骤为解释计算过程，实际直接） = 2.5$（单位$^2$），
即三角形$ABC$的面积为$2.5$个单位面积（或简化为：三角形$ABC$的面积为$2.5$）。